Какова площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной длиной

Stepan

54

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник.

Первым шагом давайте определим радиус круга. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому давайте обозначим сторону треугольника как \(a\). Затем найдем высоту треугольника, которая будет проходить через центр вписанного круга. Для равностороннего треугольника существует известная формула для высоты:

\[h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, когда мы знаем высоту треугольника, мы можем найти радиус круга. Радиус вписанного круга является отрезком, проведенным из центра круга до любой стороны треугольника. Так как высота перпендикулярна основанию треугольника, радиус круга будет равен половине высоты. Таким образом, радиус \(R\) будет:

\[R = \frac{h}{2}\]

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем использовать формулу для площади круга, чтобы найти площадь круга вписанного в равносторонний треугольник. Формула для площади круга выглядит следующим образом:

\[S = \pi \cdot R^2\]

Теперь давайте подставим наше значение радиуса в эту формулу:

\[S = \pi \cdot \left(\frac{h}{2}\right)^2\]

Далее, вычислим радиус в квадрате:

\[S = \pi \cdot \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{h^2}{4}\]

Теперь, когда у нас есть формула для площади круга вписанного в равносторонний треугольник, мы можем подставить значение высоты \(h\) и вычислить площадь.

Пожалуйста, укажите длину стороны треугольника \(a\), чтобы я мог продолжить расчеты и найти площадь круга.