Яка площа обмеженої фігури, що утворюється лініями y=2sinx, y=cosx та x= π/2?

Mishka

7

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2sinx, y=cosx и x=π/2, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Давайте посмотрим на заданные кривые и определим интервал, на котором они пересекаются.

Заметим, что когда y=2sinx, то y=cosx. Решим это уравнение:

2sinx = cos x

2sinx - cosx = 0

Здесь мы можем применить формулу тригонометрического тождества:

sin(x + π/4) = √2/2sin(x - π/4)

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

sin(x + π/4) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение:

x + π/4 = 0 + kπ,

где k - любое целое число.

Так как нам дано, что x = π/2, мы можем найти только одно значение k, которое удовлетворяет этому условию:

π/2 + π/4 = kπ,

k = 3/4.

Теперь мы можем использовать найденные значения x для определения границ нашего интеграла.

Наши кривые пересекаются при х = π/2 и когда sinx = cosx. Для нашего примера это происходит при х = 3π/4.

Теперь мы можем найти площадь обмеженой фигуры, используя определенный интеграл:

\[S = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - \cos x) dx.\]

После вычисления этого интеграла, мы получим значение площади фигуры.