Какова площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см и угловая мера дуги сегмента составляет

Игорь

29

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) У нас есть круговой сегмент с радиусом \( r = 2 \) см и угловой мерой дуги сегмента \( \alpha = 60 \) градусов. Мы хотим найти площадь этого сегмента.

Для начала, найдем длину дуги сегмента. Формула для вычисления длины дуги круга:

\[ L = \frac{{2\pi r \alpha}}{{360}} \]

В данной задаче, подставим значения, чтобы получить длину дуги:

\[ L = \frac{{2\pi \cdot 2 \cdot 60}}{{360}} = \frac{{4\pi}}{{3}} \approx 4.188 \] см

Теперь, чтобы найти площадь кругового сегмента, нам нужно найти площадь соответствующего сектора круга и вычесть площадь треугольника.

Площадь сектора круга можно найти по формуле:

\[ S_1 = \frac{{\pi r^2 \alpha}}{{360}} \]

Подставив значения:

\[ S_1 = \frac{{\pi \cdot 2^2 \cdot 60}}{{360}} = \frac{{4\pi}}{{3}} \approx 4.188 \] см²

Теперь найдем площадь треугольника, который составляет круговой сегмент. Для этого нам нужно найти высоту треугольника. Очевидно, что это прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна радиусу круга \( r \), а катеты равны \( r \) и \( \frac{{r \sqrt{3}}}{2} \) (потому что треугольник равнобедренный и в нем есть равные углы в \( 30 \) градусов). Таким образом, высота треугольника равна \( h = r - \frac{{r \sqrt{3}}}{2} \).

\[ h = 2 - \frac{{2 \sqrt{3}}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \] см

Теперь можем найти площадь треугольника:

\[ S_2 = \frac{{r \cdot h}}{2} = \frac{{2 \cdot (2 - \sqrt{3})}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.732 \] см²

Итак, площадь кругового сегмента равна:

\[ S = S_1 - S_2 = 4.188 - 0.732 \approx 3.456 \] см²

Ответ: площадь кругового сегмента равна 3.456 см².

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) В этой задаче у нас также есть круговой сегмент с радиусом \( r = 2 \) см, но угловая мера дуги сегмента равна \( \alpha = 300 \) градусов. Мы снова хотим найти площадь сегмента.

Аналогично как в первой задаче, найдем длину дуги сегмента:

\[ L = \frac{{2\pi r \alpha}}{{360}} = \frac{{2\pi \cdot 2 \cdot 300}}{{360}} = \frac{{4\pi}}{{3}} \approx 4.188 \] см

Далее найдем площадь сектора круга:

\[ S_1 = \frac{{\pi r^2 \alpha}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot 2^2 \cdot 300}}{{360}} = \frac{{4\pi}}{{3}} \approx 4.188 \] см²

Теперь определим высоту треугольника:

\[ h = r - \frac{{r \sqrt{3}}}{2} = 2 - \frac{{2 \sqrt{3}}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \] см

Найдем площадь треугольника:

\[ S_2 = \frac{{r \cdot h}}{2} = \frac{{2 \cdot (2 - \sqrt{3})}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.732 \] см²

Итак, площадь кругового сегмента равна:

\[ S = S_1 - S_2 = 4.188 - 0.732 \approx 3.456 \] см²

Ответ: площадь кругового сегмента равна 3.456 см².

И это наше окончательное решение задачи. Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь в каких-либо других задачах, пожалуйста, спрашивайте!