Каково расстояние от вершины A до прямой, через точки D и B1, на ребре куба ABCDA1B1C1D1 со значением 3√6 на 2? 1

Тигрёнок

34

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые геометрические знания и формулы. Давайте приступим к ее решению.

Изначально, нам нужно найти координаты точек D и B1. Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 со стороной, равной 1.

Так как вершина куба D находится на прямой, проходящей через точки D и B1, нас интересует расстояние от вершины A до этой прямой. Давайте найдем координаты точек D и B1.

Для этого, рассмотрим координаты вершин куба:
A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

Проложим прямую через точки D и B1. Для этого, определим векторное уравнение прямой, которое может быть записано следующим образом:

\(\vec{r} = \vec{D} + t(\vec{B1} - \vec{D})\),

где \(\vec{r}\) - векторное уравнение прямой, \(\vec{D}\) и \(\vec{B1}\) - векторы координат точек D и B1 соответственно, а \(t\) - параметр, имеющий любое значение от 0 до 1.

Раскроем векторные уравнения:

\(\vec{D}\) = (0, 1, 0),
\(\vec{B1}\) = (1, 0, 1).

Подставим их в векторное уравнение:

\(\vec{r} = (0, 1, 0) + t((1, 0, 1) - (0, 1, 0))\).

Выполним вычисления:

\(\vec{r} = (0, 1, 0) + t(1, -1, 1) = (t, 1 - t, t)\).

Из этого уравнения мы можем вывести значения координат для точек D и B1 при различных значениях параметра \(t\).

Координаты точки D при \(t = 0\) будут равны (0, 1, 0).
Координаты точки B1 при \(t = 1\) будут равны (1, 0, 1).

Теперь, чтобы найти расстояние от вершины A до прямой, проходящей через точки D и B1, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве.

Формула выглядит следующим образом:

\(d = \frac{|(\vec{A}-\vec{D}) \cdot (\vec{B1}-\vec{D}) \times (\vec{A}-\vec{B1})|}{|\vec{B1}-\vec{D}|}\),

где \(\vec{A}\), \(\vec{D}\) и \(\vec{B1}\) - векторы координат точек A, D и B1 соответственно, и \(\times\) обозначает векторное произведение, а \(\cdot\) - скалярное произведение векторов.

Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

\(\vec{A}\) = (0, 0, 0),
\(\vec{D}\) = (0, 1, 0),
\(\vec{B1}\) = (1, 0, 1).

\(\vec{A}-\vec{D}\) = (0, -1, 0),
\(\vec{B1}-\vec{D}\) = (1, -1, 1),
\(\vec{A}-\vec{B1}\) = (-1, 0, -1).

\((\vec{A}-\vec{D}) \cdot (\vec{B1}-\vec{D})\) = (0, -1, 0) $\cdot$ (1, -1, 1) = -1,
\(\vec{B1}-\vec{D}\) = (1, -1, 1) = \(\sqrt{3}\),
\(\vec{A}-\vec{B1}\) = (-1, 0, -1) = \(\sqrt{2}\).

Итак, расстояние от вершины A до прямой, проходящей через точки D и B1, можно рассчитать следующим образом:

\(d = \frac{|-1 \times \sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

Таким образом, расстояние от вершины A до прямой будет равно \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Ответ: 3) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).