Какова площадь меньшего и большего кругов, если они описываются вокруг и вписываются в равносторонний треугольник

Тигр

34

Для решения этой задачи нам потребуется использовать некоторые геометрические свойства и формулы. Давайте начнем с построения равностороннего треугольника со стороной, равной квадратному корню из 10 метров.

У нас есть следующая информация: сторона равностороннего треугольника равна \(\sqrt{10}\) метров.

1. Найдем высоту треугольника \(h\). В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и делит каждый угол на две равные части. Таким образом, получаем два равнобедренных треугольника с углом в 60 градусов и основанием \(\sqrt{10}\) метров.

Для нахождения высоты треугольника мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - основание треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Подставляем известные значения:

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot h = \frac{\sqrt{10} \cdot h}{2}\)

Так как треугольник равносторонний, то его площадь равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\). Подставляем значения:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\sqrt{10})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10 = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \, \text{квадратных метров}\]

Таким образом, площадь треугольника равна примерно \(8.66 \, \text{квадратных метров}.\)

2. Теперь найдем площадь меньшего круга. Площадь круга можно найти, зная его радиус.

Радиус круга, вписанного в равносторонний треугольник, равен \( \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) - длина стороны равностороннего треугольника. Подставляем значение стороны:

\[ r = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \]

Площадь меньшего круга можно найти по формуле:

\[ S = \pi r^2 \approx 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{{30}}{36} = \frac{5}{2} \approx 2.5 \, \text{квадратных метра} \]

Таким образом, площадь меньшего круга составляет примерно 2.5 квадратных метра.

3. Найдем площадь большего круга. Радиус круга, описанного вокруг равностороннего треугольника, равен \( \frac{a}{\sqrt{3}} \). Подставляем значение стороны:

\[ R = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3} \]

Площадь большего круга можно найти также по формуле:

\[ S = \pi R^2 \approx 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{30}}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \text{квадратных метра} \]

Таким образом, площадь большего круга составляет примерно 3.33 квадратных метра.