Какова площадь многоугольника, образованного соединением последовательных точек на координатной плоскости

Тигр

11

Чтобы найти площадь многоугольника, образованного соединением данных точек на координатной плоскости, мы можем использовать формулу площади Гаусса. Вначале, давайте визуализируем наш многоугольник, чтобы было легче понять его форму:

\[
\begin{array}{ccc}
& (2,5) & \\
& & \\
(1,2) & & (3,3) \\
& & \\
& (2,1) & \\
& & \\
(1,0) & & (0,3) \\
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти площадь, мы можем разделить наш многоугольник на несколько треугольников и сложить их площади. Мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника, которая выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{база} \cdot \text{высота}\]

Запишем координаты точек в последовательности, соединяющей их:

\[
(1,0) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,3) \rightarrow (2,5) \rightarrow (1,2) \rightarrow (0,3) \rightarrow (1,0)
\]

Теперь мы можем найти площади треугольников, образованных этими точками. Давайте начнём с первого треугольника, образованного точками (1,0), (2,1) и (0,3). Для этого треугольника база равна расстоянию между точками (1,0) и (0,3), а высота - расстоянию от точки (2,1) до прямой, проходящей через эти две точки. Вы можете использовать формулы расстояния между двумя точками и перпендикулярного расстояния от точки до прямой в общем виде для этих вычислений.

При решении данной задачи, длина первой стороны равна:

\[
\sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]

Затем мы должны найти высоту. Воспользуемся формулой для нахождения перпендикулярного расстояния от точки до прямой:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

где (x₁, y₁) - координаты точки, A и B - коэффициенты уравнения прямой, проходящей через две точки, а C - константа.

Прямая, проходящая через точки (1,0) и (0,3), имеет следующие коэффициенты:

\[
A = (y_2 - y_1) = (3 - 0) = 3
\]
\[
B = (x_1 - x_2) = (1 - 0) = 1
\]
\[
C = (x_2y_1 - x_1y_2) = (0 \cdot 3 - 1 \cdot 0) = 0
\]

Теперь мы можем вычислить высоту треугольника:

\[
d = \frac{|3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{10}}
\]

Итак, площадь первого треугольника равна:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{7}{2\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{10}
\]

Продолжим этот процесс для остальных треугольников, и затем сложим все площади, чтобы найти окончательную площадь многоугольника. Пожалуйста, дайте мне знать, трудности ли вы испытываете на каком-то из этих шагов, или если есть что-то ещё, что я могу уточнить или объяснить более подробно.