Какова площадь области, ограниченной линиями уравнений y=x^2+1, y=0 и x=-1, x=2?

Японец

12

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нам необходимо вычислить определенный интеграл от \(y=x^2+1\) до \(y=0\) по оси \(x\) в пределах от \(x=-1\) до \(x=2\).

Для начала рассмотрим график уравнения \(y=x^2+1\), чтобы понять его форму. Уравнение \(y=x^2+1\) представляет собой параболу с вершиной в точке (0,1). Она открывается вверх и имеет ветви, которые простираются в положительном направлении оси x. Этот график представлен на рисунке ниже.

\[ График уравнения: y=x^2+1 \]

Теперь рассмотрим остальные линии, ограничивающие данный регион. Уравнение \(y=0\) соответствует оси x, а именно горизонтальной линии y=0 на графике. А уравнения \(x=-1\) и \(x=2\) соответствуют вертикальным линиям, проходящим через \(x=-1\) и \(x=2\) на графике.

\[ График: y=x^2+1, y=0, x=-1, x=2 \]

Чтобы найти площадь области, ограниченной этими линиями, мы должны найти интеграл от \(y=x^2+1\) до \(y=0\) по переменной \(x\) в промежутке от \(x=-1\) до \(x=2\). Поскольку у нас есть только одна переменная \(x\), мы будем использовать метод интегрирования по горизонтальной оси.

В данной задаче границы интегрирования - это точки пересечения графика \(y=x^2+1\) с осями x и точки \(x=-1\) и \(x=2\). Чтобы найти эти точки, приравняем \(y=x^2+1\) к нулю:

\[ x^2+1=0 \]

Это уравнение не имеет решений на вещественной числовой прямой, поскольку выражение \(x^2+1\) всегда будет положительным или нулевым. Таким образом, график \(y=x^2+1\) никогда не пересекает ось x.