Какова площадь области, ограниченной линиями уравнений y=x^2+1, y=0 и x=-1, x=2?

  • 60
Какова площадь области, ограниченной линиями уравнений y=x^2+1, y=0 и x=-1, x=2?
Японец
12
Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нам необходимо вычислить определенный интеграл от y=x2+1 до y=0 по оси x в пределах от x=1 до x=2.

Для начала рассмотрим график уравнения y=x2+1, чтобы понять его форму. Уравнение y=x2+1 представляет собой параболу с вершиной в точке (0,1). Она открывается вверх и имеет ветви, которые простираются в положительном направлении оси x. Этот график представлен на рисунке ниже.

Графикуравнения:y=x2+1

Теперь рассмотрим остальные линии, ограничивающие данный регион. Уравнение y=0 соответствует оси x, а именно горизонтальной линии y=0 на графике. А уравнения x=1 и x=2 соответствуют вертикальным линиям, проходящим через x=1 и x=2 на графике.

График:y=x2+1,y=0,x=1,x=2

Чтобы найти площадь области, ограниченной этими линиями, мы должны найти интеграл от y=x2+1 до y=0 по переменной x в промежутке от x=1 до x=2. Поскольку у нас есть только одна переменная x, мы будем использовать метод интегрирования по горизонтальной оси.

В данной задаче границы интегрирования - это точки пересечения графика y=x2+1 с осями x и точки x=1 и x=2. Чтобы найти эти точки, приравняем y=x2+1 к нулю:

x2+1=0

Это уравнение не имеет решений на вещественной числовой прямой, поскольку выражение x2+1 всегда будет положительным или нулевым. Таким образом, график y=x2+1 никогда не пересекает ось x.