Какова площадь области, ограниченной линиями уравнений y=x^2+1, y=0 и x=-1, x=2?

Японец

12

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нам необходимо вычислить определенный интеграл от $y=x^2+1$ до $y=0$ по оси $x$ в пределах от $x=-1$ до $x=2$.

Для начала рассмотрим график уравнения $y=x^2+1$, чтобы понять его форму. Уравнение $y=x^2+1$ представляет собой параболу с вершиной в точке (0,1). Она открывается вверх и имеет ветви, которые простираются в положительном направлении оси x. Этот график представлен на рисунке ниже.

$$Графикуравнения:y=x^2+1$$

Теперь рассмотрим остальные линии, ограничивающие данный регион. Уравнение $y=0$ соответствует оси x, а именно горизонтальной линии y=0 на графике. А уравнения $x=-1$ и $x=2$ соответствуют вертикальным линиям, проходящим через $x=-1$ и $x=2$ на графике.

$$График:y=x^2+1,y=0,x=-1,x=2$$

Чтобы найти площадь области, ограниченной этими линиями, мы должны найти интеграл от $y=x^2+1$ до $y=0$ по переменной $x$ в промежутке от $x=-1$ до $x=2$. Поскольку у нас есть только одна переменная $x$, мы будем использовать метод интегрирования по горизонтальной оси.

В данной задаче границы интегрирования - это точки пересечения графика $y=x^2+1$ с осями x и точки $x=-1$ и $x=2$. Чтобы найти эти точки, приравняем $y=x^2+1$ к нулю:

$$x^2+1=0$$

Это уравнение не имеет решений на вещественной числовой прямой, поскольку выражение $x^2+1$ всегда будет положительным или нулевым. Таким образом, график $y=x^2+1$ никогда не пересекает ось x.