Какова площадь области, заключенной между осью Ох и параболой у=-х^2+4х-3?

Ogon

15

Чтобы найти площадь области, заключенной между осью Ох и параболой \(y = -x^2 + 4x - 3\), мы должны проинтегрировать функцию параболы и вычислить значение этого интеграла.

Пошаговое решение:
Шаг 1: Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, выставив \(y\) равным нулю.
\(0 = -x^2 + 4x - 3\)
Для решения этого квадратного уравнения, мы можем либо воспользоваться факторизацией, либо применить формулу квадратного корня.

Факторизация:
\(0 = -(x - 1)(x - 3)\)
Отсюда видно, что у нас есть две точки пересечения: \(x = 1\) и \(x = 3\).

Шаг 2: Построим график функции параболы, чтобы визуализировать область, о которой идет речь.

\[
\begin{align*}
y &= -x^2 + 4x - 3 \\
&= -(x - 2)^2 + 1
\end{align*}
\]

Таким образом, парабола симметрична относительно прямой \(x = 2\) и открывается вниз. Она пересекает ось Ох в точках \(x = 1\) и \(x = 3\), и имеет вершину в точке \((2, 1)\).

Шаг 3: Определим границы нашего интеграла. Интегрирование будет выполняться от одной точки пересечения до другой.

Границы интегрирования: \(1 \le x \le 3\).

Шаг 4: Найдем интеграл функции параболы между этими границами.
\[
\int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx
\]

Для решения этого интеграла проинтегрируем каждый терм по очереди с использованием правил интегрирования.

\[
\begin{align*}
&\int -x^2 + 4x - 3 \, dx \\
&= -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x \Bigg|_{1}^{3}
\end{align*}
\]

Шаг 5: Подставим границы и вычислим окончательное значение интеграла.
\[
\begin{align*}
&= \left(-\frac{1}{3}\cdot 3^3 + 2\cdot 3^2 - 3\cdot 3\right) - \left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3 + 2\cdot 1^2 - 3\cdot 1\right) \\
&= (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3) \\
&= 0 - (-\frac{10}{3}) \\
&= \frac{10}{3}
\end{align*}
\]

Ответ: Площадь области, заключенной между осью Ох и параболой \(y = -x^2 + 4x - 3\), равна \(\frac{10}{3}\)