Какова площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ равна 10 дм и квадрат, параллельный его оси и служащий

Зимний_Мечтатель_6458

9

Хорошо, давайте решим задачу о площади осевого сечения цилиндра. Нам дано, что диагональ цилиндра равна 10 дм, и квадрат, параллельный его оси и служащий сечением, имеет площадь 20 дм².

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства геометрии. Помимо этого, мы также можем использовать формулу для нахождения площади круга. Но прежде чем продолжить, давайте посмотрим на рисунок для наглядности.

\[
\begin{array}{c}
\text{Рисунок:}\\
\end{array}
\]

Здесь мы видим, что квадрат параллелен оси цилиндра и является его сечением. Пусть сторона этого квадрата равна \(a\). Тогда площадь этого квадрата равна \(a^2\) и равна 20 дм², согласно условию задачи.

\[a^2 = 20\]

Теперь воспользуемся свойством геометрии, которое говорит, что диагональ квадрата равна стороне квадрата умножить на \(\sqrt{2}\). Применим это свойство к нашему квадрату и получим:

\[a\sqrt{2} = 10\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(a\):

\[a = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Теперь мы знаем, что сторона квадрата равна \(5\sqrt{2}\).

Чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, нам необходимо найти площадь круга, центр которого совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине диагонали квадрата.

Радиус круга \(r\) равен половине стороны квадрата \(a\) (половина диагонали квадрата), то есть:

\[r = \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади круга:

\[S = \pi r^2\]

Подставим значение радиуса и рассчитаем площадь осевого сечения цилиндра:

\[S = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{25\pi}{2} \approx 39.27 \, \text{дм}^2\]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра, когда его диагональ равна 10 дм и квадрат, параллельный его оси и служащий сечением, имеет площадь 20 дм², составляет примерно 39.27 дм².