Какова площадь осевого сечения цилиндра, если хорда нижнего основания отсекает от окружности дугу в 120 градусов

Sovenok

3

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим ее по шагам.

Шаг 1: Рассмотрение основных элементов задачи
Мы имеем цилиндр с верхним и нижним основаниями, а также хорду, которая отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, равен 4√2 сантиметра, а угол между этим отрезком и плоскостью основания составляет 45 градусов. Наша цель - найти площадь осевого сечения цилиндра.

Шаг 2: Понимание связей между элементами задачи
Для решения задачи нам потребуется определить радиус окружности основания цилиндра и выразить площадь осевого сечения через этот радиус.

Шаг 3: Вычисление радиуса окружности
Для начала найдем длину хорды, отсекающей от окружности дугу в 120 градусов. Зная, что угол дуги составляет 120 градусов и радиус окружности обозначим как \(r\), можем использовать формулу для длины дуги:

\[l = r \cdot \alpha\]

где \(l\) - длина дуги, а \(\alpha\) - центральный угол дуги в радианах.

Переведем угол дуги из градусов в радианы:

\(\alpha = \frac{120}{180} \cdot \pi = \frac{2}{3} \pi\)

Тогда формула для длины дуги примет вид:

\(l = r \cdot \frac{2}{3} \pi\)

Также у нас имеется прямоугольный треугольник, образованный этой хордой, радиусом окружности и отрезком, соединяющим центр верхнего основания с серединой хорды. Мы знаем, что этот отрезок равен 4√2 сантиметра и образует с плоскостью основания угол 45 градусов.

Мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения радиуса окружности.

В прямоугольном треугольнике у нас есть гипотенуза (отрезок, соединяющий верхнее основание цилиндра с серединой хорды, то есть радиус окружности), противолежащий катет (отрезок, соединяющий верхнее основание цилиндра с серединой хорды) и известный угол.

Так как у нас известны противолежащий катет и угол, мы можем использовать тангенс угла, чтобы найти гипотенузу.

\(\tan(45^\circ) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

\(\tan(45^\circ) = \frac{{4\sqrt{2}}}{{r}}\)

Выразим \(r\) из этого уравнения:

\(r = \frac{{4\sqrt{2}}}{{\tan(45^\circ)}}\)

Шаг 4: Вычисление площади осевого сечения цилиндра
Площадь осевого сечения цилиндра может быть вычислена по формуле:

\(S = \pi \cdot r^2\)

Подставим значение \(r\) в эту формулу:

\(S = \pi \cdot \left(\frac{{4\sqrt{2}}}{{\tan(45^\circ)}}\right)^2\)

\(S = \pi \cdot \left(\frac{{4\sqrt{2}}}{{1}}\right)^2\)

\(S = \pi \cdot \left(4\sqrt{2}\right)^2\)

\(S = \pi \cdot 32\)

\(S = 32\pi\) квадратных сантиметра

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна \(32\pi\) квадратных сантиметра.