Могут ли вершины квадратов, построенные вне правильного треугольника, быть вершинами правильного шестиугольника?

Lesnoy_Duh_9523

58

Да, вершины квадратов, построенные вне правильного треугольника, могут быть вершинами правильного шестиугольника. Давайте рассмотрим это подробнее.

Пусть у нас есть правильный треугольник ABC. Мы строим квадраты на каждой из сторон треугольника. Пусть P, Q и R - вершины соответствующих квадратов, построенных на сторонах AB, BC и CA.

Теперь давайте посмотрим на точку P. Она является вершиной квадрата, и поэтому расстояние от P до A и до B будет одинаковым. Следовательно, P лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка AB. Аналогично, точка Q лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка BC, и точка R лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка CA.

Теперь давайте соединим вершины P, Q и R. Поскольку P лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка AB, а Q лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка BC, отрезок PQ будет параллелен отрезку AC. Аналогично, отрезки QR и RP также будут параллельны сторонам треугольника.

Таким образом, получается, что вершины P, Q и R образуют правильный шестиугольник! Расстояния между этими вершинами будут равными, поскольку они лежат на перпендикулярных биссектрисах сторон треугольника.

Мы можем убедиться в этом, измерив угол между любыми двумя соседними сторонами нашего шестиугольника. Он будет равен 120 градусам, так как это угол правильного шестиугольника.

Таким образом, мы доказали, что вершины квадратов, построенные вне правильного треугольника, могут быть вершинами правильного шестиугольника.