Какова площадь осевого сечения конуса, если его центральный угол на развертке боковой поверхности составляет 120°

Maksim

1

Понятно, в задаче нам даны два параметра конуса: центральный угол на развертке боковой поверхности и высота. Нам нужно найти площадь осевого сечения конуса.

Для начала вспомним некоторые основные свойства конуса. Конус имеет две основания - большое основание и малое основание. Центральный угол, указанный в задаче, соответствует углу между радиус-векторами, проведенными от центра основания до точек пересечения с разверткой боковой поверхности. Обозначим этот угол как \(\alpha\).

Площадь осевого сечения конуса можно найти, используя следующую формулу:
\[S = \pi r^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\]

В этой формуле \(S\) обозначает площадь осевого сечения, \(\pi\) - число пи (приближенно равное 3.14), \(r\) - радиус основания конуса (что равно половине диаметра) и \(\alpha\) - центральный угол на развертке боковой поверхности.

Теперь вспомним, что у конуса боковая поверхность представляет собой круговой сектор в развертке. Центральный угол этого кругового сектора равен удвоенному значению центрального угла на развертке боковой поверхности. То есть, у нас есть следующая связь:
\(\alpha = 2 \cdot \text{угол на развертке}\)

Теперь подставим все данные в формулу и найдем площадь осевого сечения конуса.

Мы знаем, что \(\alpha = 120^\circ\). Теперь нам нужно найти радиус основания конуса. Если у нас есть значение высоты, то можно воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти радиус. Она утверждает, что в прямоугольном треугольнике радиус, высота и боковая сторона образуют пропорцию:
\[r : h : s = 1 : \sqrt{3} : 2\]
где \(h\) - высота, \(s\) - боковая сторона.

Однако, мы не знаем значение боковой стороны \(s\), поэтому воспользуемся другой формулой для радиуса:
\[r = \frac{h}{\sqrt{3}}\]

Теперь подставим все значения в формулу для площади осевого сечения конуса:
\[S = \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\]

Таким образом, мы получили формулу для решения данной задачи.