Какова площадь основания данной правильной шестиугольной пирамиды FABCDEK, если известно, что прямая FO перпендикулярна

Летающий_Космонавт_5721

6

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторые свойства и формулы, связанные с правильными шестиугольными пирамидами.

В нашем случае, треугольник AFD является равносторонним, со стороной AF равной \(a\).

Пусть сторона основания шестиугольника FABCDEK равна \(s\). Тогда сторона треугольника AFD, равная AF, также равна \(a\).

Вспомним формулу для площади правильного шестиугольника: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2\).

Так как шестиугольник FABCDEK является правильным, то все его стороны равны между собой, включая отрезок FK, который является высотой пирамиды.

Так как прямая FO перпендикулярна плоскости основания, она проходит через центр шестиугольника и через вершину пирамиды, образуя прямые углы с плоскостью основания и с отрезком FK.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник OFK, где OK - это половина стороны основания шестиугольника, то есть \(OK = \frac{s}{2}\), и FK - это высота пирамиды.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нашего треугольника OFK:

\[OK^2 + FK^2 = OF^2\]
\[\left(\frac{s}{2}\right)^2 + FK^2 = OF^2\]

Так как треугольник AFD является равносторонним, то значит угол OFK тоже равен 60 градусам.

Тогда мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения FK в зависимости от \(a\).

В равностороннем треугольнике тангенс угла равен \(\sqrt{3}\). То есть, \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\).

Мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{FK}{OK} = \tan(60^\circ)\]
\[\frac{FK}{\frac{s}{2}} = \sqrt{3}\]
\[FK = \frac{\sqrt{3} \cdot s}{2}\]

Теперь мы можем подставить значение FK в нашу формулу для площади шестиугольника и получить ответ:

\[S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2\]

Учитывая, что \(FK = \frac{\sqrt{3} \cdot s}{2}\), мы можем записать:

\[S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3} \cdot s}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3s^2}{4} = \frac{9\sqrt{3}s^2}{8}\]

Итак, площадь основания данной правильной шестиугольной пирамиды FABCDEK равна \(\frac{9\sqrt{3}s^2}{8}\), где \(s\) - сторона основания, равная \(a\).