Какой объём имеет пирамида с прямоугольным треугольником в основании, у которого катеты равны 15 см и 20 см

Леонид_9322

58

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать геометрические формулы и свойства пирамиды.

Дано:
- Катеты прямоугольного треугольника в основании пирамиды равны 15 см и 20 см.
- Все боковые рёбра пирамиды образуют углы 45° с плоскостью основания.

Мы знаем, что пирамида характеризуется своим объёмом, которым мы и хотим выяснить.

Для начала, найдём площадь основания пирамиды. Поскольку у нас прямоугольный треугольник в основании, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота} \]

В данном случае, основание треугольника равно произведению катетов:

\[ \text{Основание} = 15 \, \text{см} \times 20 \, \text{см} = 300 \, \text{см}^2 \]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Мы знаем, что боковые рёбра образуют углы 45° с плоскостью основания. Так как боковые рёбра пирамиды являются радиусами вписанной окружности треугольника, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности, то мы можем использовать триангуляцию для определения высоты.

Для этого мы используем свойство треугольников: прямой треугольник, образованный медианой и радиусом, является равнобедренным. Таким образом, мы можем найти высоту пирамиды, используя один из катетов и радиус вписанной окружности.

\[ \text{Высота} = \sqrt{\text{Боковой \_ катет}^2 - (\text{Радиус \_ вписанной \_ окружности})^2} \]

В данном случае, боковой катет равен 15 см (можно выбрать 20 см) и радиус вписанной окружности можно найти через формулу:

\[ \text{Радиус \_ вписанной \_ окружности} = \frac{\text{Гипотенуза}}{2} = \frac{20 \, \text{см}}{2} = 10 \, \text{см} \]

Подставим значения в формулу:

\[ \text{Высота} = \sqrt{15 \, \text{см}^2 - 10 \, \text{см}^2} = \sqrt{225 \, \text{см}^2 - 100 \, \text{см}^2} = \sqrt{125 \, \text{см}^2} = 11,18 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть данные для расчёта объёма пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь \_ основания} \times \text{Высота} = \frac{1}{3} \times 300 \, \text{см}^2 \times 11,18 \, \text{см} = 1002 \, \text{см}^3 \]

Ответ: Объём пирамиды равен 1002 кубическому сантиметру.