Какова площадь параллелограмма ABCD, если точки N и M находятся на сторонах AB и AD соответственно так, что AN:NB

Smeshannaya_Salat

21

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством параллелограмма, гласящим, что площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Давайте рассмотрим каждый шаг в деталях.

1. Представим, что сторона AB параллелограмма ABCD разделена точкой N на две равные части в отношении 1:2. Пусть точка P - середина отрезка AB. Тогда NP = AN и PB = NB. Также, применительно к стороне AD, разделим ее на две равные части в точке M, где AM = MD.

A_____P________B
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \_____/ |
| |
| |
M N
| |
| |
C

2. Так как AB и CD параллельны (по свойству параллелограмма), то высота, опущенная из вершины C на сторону AB, также будет перпендикулярна к стороне MN. Обозначим точку пересечения вертикали из C с отрезком MN как точку H. Таким образом, H - это основание высоты, опущенной из вершины C.

A_____P________B
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \_____/ |
| | H |
| | | |
C

3. Теперь нам нужно определить, какая часть сторон AB и AD равна MN и CD соответственно. Из условия задачи известно, что AN:NB = 1:2 и AM:MD = 1:2. Так как точка P - середина отрезка AB, то и NP:PB = 1:1. Аналогично, AM:MD = 1:2, поэтому и CM:MH = 1:2.

4. Мы знаем, что площадь треугольника CMN равна, но не известна его высота MN. Найдем эту высоту, используя соотношение между сторонами и соотношение между площадями подобных треугольников.

Сначала определим MN в зависимости от PB и MH. Так как NP:PB = 1:1 и CM:MH = 1:2, то соотношение длин будет следующим:
NP:MN:PB = 1:2:1.

Так как площадь треугольника CMN равна, то применяя соотношение площадей подобных треугольников, получим \(\frac{CM}{PB} = \frac{MN}{NH}\) и \(\frac{CM}{MH} = \frac{MN}{NH}\).

Теперь мы можем объединить эти два выражения и выразить MN через известные величины:
\(\frac{CM}{PB} = \frac{CM}{MH}\).

Так как PB = 2NH (из соотношения сторон NP:MN:PB = 1:2:1), то можно подставить это значение в предыдущее выражение:
\(\frac{CM}{2NH} = \frac{CM}{MH}\).

Упростив это выражение, получим:
CM = 2MH.

Мы нашли, что CM равно удвоенной высоте MH.

5. Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы вычислить площадь параллелограмма ABCD. Применим свойство параллелограмма, о котором говорилось ранее: площадь параллелограмма равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Выберем AB в качестве стороны и высоту от вершины C.

Так как CM = 2MH и NC = NP + CM = NP + 2MH, то NC = 1MN + 2MN = 3MN.

Теперь мы можем выразить площадь параллелограмма ABCD:
Площадь = AB * высота = AB * NC = AB * 3MN.
Но MN - это высота треугольника CMN, исходя из условия задачи. Поэтому площадь параллелограмма равна 3 раза площади треугольника CMN.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 3 раза площади треугольника CMN.