Какова длина образующей конуса с объемом 100 П см³, если площадь основания составляет 25 Псм²?

Viktorovich

8

Хорошо! Для начала, нам нужно вспомнить формулу объема \(V\) конуса и формулу площади основания \(A\). Объем конуса можно вычислить по следующей формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]

где \(\pi\) - математическая постоянная (приближенно равна 3.14), \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Площадь основания вычисляется по формуле:

\[A = \pi r^2.\]

Теперь, используя данную информацию, давайте решим задачу.

Мы знаем, что объем конуса равен 100 \(\pi\) кубических сантиметров, а площадь основания равна 25 \(\pi\) квадратных сантиметров. То есть, у нас есть следующие уравнения:

\[\frac{1}{3} \pi r^2 h = 100 \pi,\]
\[\pi r^2 = 25 \pi.\]

Теперь давайте решим уравнение для площади основания относительно радиуса \(r\).

\[\pi r^2 = 25 \pi.\]

Деля обе части уравнения на \(\pi\), получим:

\[r^2 = 25.\]

Далее извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt{25}.\]

Так как радиус не может быть отрицательным, получаем:

\[r = 5.\]

Теперь можем найти высоту. Подставим значение радиуса \(r\) в уравнение для объема:

\[\frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 h = 100 \pi.\]

Теперь решим это уравнение относительно высоты \(h\):

\[25h = 100.\]

Делим обе части уравнения на 25:

\[h = \frac{100}{25}.\]

Выполняем деление:

\[h = 4.\]

Таким образом, длина образующей конуса равна \(h\) и составляет 4 сантиметра.

В итоге, \textbf{длина образующей конуса равна 4 сантиметра}.