Какова площадь параллелограмма ABCD, если точки P и K лежат на сторонах AD и CD соответственно и удовлетворяют условиям

Aleks

14

Пусть основание параллелограмма ABCD равно a, а высота равна h. Также обозначим длины отрезков AP и PD через 2x и 3x соответственно, а длины отрезков CK и KD через 3y и y соответственно.

Так как треугольник BPK находится внутри параллелограмма ABCD, его площадь не может превышать площади параллелограмма. Пусть S1 обозначает площадь треугольника BPK.

Так как треугольники BPK и DPK имеют общую высоту и пропорциональные основания, их площади относятся как соответствующие основания. Поэтому площадь треугольника DPK равна \(\frac{3}{2}\) площади треугольника BPK:

\[S_{DPK} = \frac{3}{2} S_1\]

Аналогично, так как треугольники BPK и APK имеют общую высоту и пропорциональные основания, площадь треугольника APK равна \(\frac{2}{5}\) площади треугольника BPK:

\[S_{APK} = \frac{2}{5} S_1\]

Таким образом, полная площадь параллелограмма ABCD может быть выражена через площади треугольников BPK, DPK и APK:

\[S_{ABCD} = S_{BPK} + S_{DPK} + S_{APK} = S_1 + \frac{3}{2} S_1 + \frac{2}{5} S_1 = \left(1 + \frac{3}{2} + \frac{2}{5}\right) S_1\]

Чтобы узнать значение S1, нам нужно значение выражения \(\left(1 + \frac{3}{2} + \frac{2}{5}\right)\). Произведем соответствующие вычисления:

\(\left(1 + \frac{3}{2} + \frac{2}{5}\right) = \frac{10}{10} + \frac{15}{10} + \frac{4}{10} = \frac{29}{10}\)

Теперь вычислим S1:

\[S_1 = \frac{S_{ABCD}}{\frac{29}{10}}\]

Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма ABCD, нам необходимо знать площадь треугольника BPK и коэффициент, равный \(\frac{29}{10}\).