Какова площадь полной поверхности цилиндра, если дуга, отсекаемая сечением параллельным оси цилиндра, составляет

Сквозь_Волны

4

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для нахождения площади полной поверхности цилиндра. Давайте пошагово рассмотрим процесс решения.

1. Определение известных значений:
- Дуга, отсекаемая сечением параллельным оси цилиндра, составляет 120 градусов.
- Радиус основания цилиндра равен 8 см.
- Угол между диагональю сечения и осью цилиндра составляет 30 градусов.

2. Найдем высоту цилиндра с помощью геометрической формулы. По условию у нас есть угол между диагональю сечения и осью цилиндра: 30 градусов. Также это прямоугольный треугольник с вертикальной диагональю (высотой цилиндра) и осью цилиндра. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты цилиндра:
\[\sin(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{\text{радиус основания цилиндра}}\]
\[\text{высота} = \sin(30^\circ) \cdot \text{радиус основания цилиндра}\]
\[\text{высота} = \sin(30^\circ) \cdot 8\,\text{см}\]

3. Найдем длину дуги, отсекаемой сечением, с помощью геометрической формулы. Цилиндр имеет полный угол в 360 градусов, а отсекаемая дуга составляет 120 градусов, поэтому:
\[\text{длина дуги} = \frac{\text{отсекаемый угол}}{360^\circ} \cdot \text{периметр основания цилиндра}\]
\[\text{длина дуги} = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot \text{радиус основания цилиндра}\]
\[\text{длина дуги} = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 8\,\text{см}\]

4. Теперь мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра с использованием найденных значений радиуса основания цилиндра, высоты цилиндра и длины дуги, отсекаемой сечением. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и боковой поверхности:
\[\text{площадь основания} = \pi \cdot \text{радиус основания цилиндра}^2\]
\[\text{площадь боковой поверхности} = \text{длина дуги} \cdot \text{высота цилиндра}\]
\[\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot \text{площадь основания} + \text{площадь боковой поверхности}\]
\[\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot \pi \cdot 8^2 + \left(\frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 8\right) \cdot \sin(30^\circ) \cdot 8\]

5. Подставим числовые значения в формулу и вычислим площадь полной поверхности цилиндра:
\[\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot \pi \cdot 8^2 + \left(\frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 8\right) \cdot \sin(30^\circ) \cdot 8\]
\[\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot \pi \cdot 64 + \left(\frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 8\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot 8\]
\[\text{площадь полной поверхности} = 128\pi + \frac{2}{3}\pi \cdot 64\]
\[\text{площадь полной поверхности} = 128\pi + \frac{128}{3}\pi\]
\[\text{площадь полной поверхности} \approx 408,96\,\text{см}^2\]

6. Итак, ответ: площадь полной поверхности цилиндра составляет приблизительно 408,96 квадратных сантиметров.