1. Найти сумму и произведение корней следующих уравнений: а) х?- 17х +60 =0; б) х2 + 3х – 40 = 0; в) 5х2 +х -3

Пингвин

29

Конечно! Давайте решать задачи по порядку.

1. Найдем сумму и произведение корней уравнений:
а) \(x^2 - 17x + 60 = 0\)

Для начала, разложим уравнение на множители: \(x^2 - 17x + 60 = (x - 12)(x - 5) = 0\)

Корни уравнения равны \(x_1 = 12\) и \(x_2 = 5\).

Сумма корней: \(12 + 5 = 17\)
Произведение корней: \(12 \cdot 5 = 60\)

б) \(x^2 + 3x - 40 = 0\)

Разложим уравнение на множители: \(x^2 + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5) = 0\)

Корни уравнения равны \(x_1 = -8\) и \(x_2 = 5\).

Сумма корней: \(-8 + 5 = -3\)
Произведение корней: \(-8 \cdot 5 = -40\)

в) \(5x^2 + x - 3 = 0\)

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы дискриминанта (или формулы извлечения корня):
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61\)
Корни уравнения равны:
\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}\)
\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}\)

Сумма корней: \(x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} + \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\)
Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{1 - 61}{100} = -\frac{60}{100} = -\frac{3}{5}\)

г) \(4x^2 - 5x = 0\)

Разложим уравнение на множители: \(x(4x - 5) = 0\)

Корни уравнения равны \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{5}{4}\).

Сумма корней: \(0 + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\)
Произведение корней: \(0 \cdot \frac{5}{4} = 0\)

2. Чтобы записать квадратное уравнение с заданными корнями, мы можем использовать формулу: \(x^2 - (сумма корней) \cdot x + (произведение корней) = 0\)

Первый корень \(х = -1\). Второй корень \(х_2 = \sqrt{3}\).

Сумма корней: \(х + х_2 = -1 + \sqrt{3}\)
Произведение корней: \(х \cdot х_2 = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}\)

Тогда квадратное уравнение будет выглядеть так: \(x^2 - (-1 + \sqrt{3}) \cdot x - \sqrt{3} = 0 \)

3. Один из корней квадратного уравнения равен \(2\), а уравнение само выглядит так: \(7x^2 - 11x - 6 = 0\)

Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения другого корня.
Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 121 + 168 = 289\)

Второй корень уравнения равен: \(x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{289}}{2 \cdot 7} = \frac{11 + 17}{14} = \frac{28}{14} = 2\)

Таким образом, второй корень уравнения равен \(2\).

4. Определим знаки корней уравнений, не решая их.
а) \(x^2 - 13x - 11 = 0\)

Для определения знаков корней, необходимо смотреть на знаки коэффициентов. В данном уравнении коэффициент перед \(x^2\) положительный, а знак перед свободным членом отрицательный. Исходя из этой информации, можно утверждать, что у уравнения есть один корень положительный, а другой отрицательный.

б) \(бу^2 + 17у - 93 = 0\)

В данном уравнении коэффициент при \(у^2\) отрицательный, а коэффициент при \(у\) положительный. Следовательно, можно сделать вывод, что у уравнения есть два корня, один положительный, а другой отрицательный.

в) \(3x^2 - √3x - 3y^2 = 0\)

Здесь мы имеем положительный коэффициент при \(x^2\) и отрицательный коэффициент при \(y^2\). Следовательно, наше уравнение имеет два корня, один положительный для \(x\), а второй отрицательный для \(y\).

5. Решим уравнения методом подбора.
а) \(у - 6 = 0\)

Подставим различные значения вместо \(у\) и найдем такое значение, при котором уравнение будет выполняться.
Когда \(у = 6\), уравнение будет верным. Значит, \(y = 6\).

б) \(с^2 - 8с - 9 =0\)

Подставим разные значения вместо \(с\), чтобы найти значение, при котором уравнение будет верным.
Когда \(с = 9\), уравнение будет выполняться. Значит, \(c = 9\).

6. Найдем стороны прямоугольника, зная его площадь.
Площадь прямоугольника равна 480 дм².

Пусть длина прямоугольника равна \(а\) дм, а ширина равна \(b\) дм.

Тогда имеем уравнение \(ab = 480\).

Найдем различные пары чисел, сумма площади которых равна 480:

(1, 480), (2, 240), (3, 160), (4, 120), (5, 96), (6, 80), (8, 60), (10, 48), (12, 40), (15, 32), (16, 30), (20, 24), (24, 20), (30, 16), (40, 12), (48, 10), (60, 8), (80, 6), (96, 5), (120, 4), (160, 3), (240, 2), (480, 1).

Из всех этих пар чисел, нас интересуют значения \(а\) и \(b\), где \(а > b\), так как ищем стороны прямоугольника. Исходя из этого, одна пара чисел, которая подходит, это \((30, 16)\).

Таким образом, стороны прямоугольника равны 30 дм и 16 дм.