Какова площадь полной поверхности пирамиды с основанием в форме ромба со стороной 6 см и углом в 45 градусов, учитывая

Виктор

36

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сначала найти площадь ее основания и добавить к ней площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания пирамиды в форме ромба. Для этого есть несколько способов, но самым простым является умножение длины одной стороны основания на длину другой стороны:

\[ S_{\text{осн}} = a \cdot b \]

где \( a \) и \( b \) - длины сторон ромба. В данной задаче сторона ромба равна 6 см, поэтому:

\[ S_{\text{осн}} = 6 \cdot 6 = 36 \, \text{см}^2 \]

2. Следующим шагом найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Найдем площадь одного такого треугольника. Он является прямоугольным треугольником с катетами, равными стороне основания пирамиды и высоте пирамиды. Так как двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30 градусам, то угол в прямоугольном треугольнике равен 90 - 30 = 60 градусов. У нас уже есть известная сторона основания пирамиды - 6 см. Найдем теперь высоту пирамиды.

Заметим, что пирамида с основанием в форме ромба и углом в 45 градусов является правильной пирамидой. В правильной пирамиде высота проходит через середины двух противоположных ребер основания и перпендикулярна им.

Известно, что сторона ромба равна 6 см. Чтобы найти высоту пирамиды, нужно найти высоту в треугольнике, образованном стороной ромба и проведенной высотой пирамиды. В таком треугольнике, высота является медианой и делит меньший угол треугольника пополам. Поскольку у нас угол в 45 градусов, то высота является медианой, делит угол пополам и делит сторону ромба пополам. Получается, что высота образует последовательные прямоугольные треугольники со сторонами 3 см и 3 см (половиной стороны ромба). Теперь мы можем найти высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора.

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 3^2 + 3^2 \]
\[ c^2 = 18 \]
\[ c = \sqrt{18} \]
\[ c = 3\sqrt{2} \, \text{см} \]

Таким образом, высота пирамиды равна \(3\sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, который будет являться одной из боковых поверхностей пирамиды:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Так как у пирамиды 4 боковых поверхности, то площадь боковой поверхности будет составлять:

\[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot 9\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

3. Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
\[ S_{\text{полная}} = 36 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды с основанием в форме ромба со стороной 6 см и углом в 45 градусов равна \(36 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2\).