Решите следующую задачу: имеются точки a(5; 0; 1), b(0; -1; 2), c(3; 0; 1) и d(-2; -1; 2). Найдите угол между векторами

Хорёк_8506

48

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

1. Начнем с нахождения векторов \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\).
Для этого вычтем координаты начальной точки каждого вектора из соответствующих конечных точек:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v} = (0 - 5, -1 - 0, 2 - 1)\)
\(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d} = (-2 - 3, -1 - 0, 2 - 1)\)

Выполнив эти вычисления, мы получаем:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v} = (-5, -1, 1)\)
\(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d} = (-5, -1, 1)\)

2. Теперь найдем длины этих векторов, используя формулу длины вектора:

Для вектора \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\):

\(\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 1^2}\)

Вычислив это значение, мы получаем:

\(\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{27}\)

Аналогично для вектора \(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\):

\(\left|\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 1^2}\)

После вычислений мы получаем:

\(\left|\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right| = \sqrt{27}\)

3. Далее найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\), используя формулу скалярного произведения:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{c}\overrightarrow{d} = (-5 \cdot -5) + (-1 \cdot -1) + (1 \cdot 1)\)

Выполнив это вычисление, мы получаем:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{c}\overrightarrow{d} = 27\)

4. Найдем угол между векторами \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\), используя формулу для косинуса угла между векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{c}\overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{v}\right| \cdot \left|\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right|}\)

Подставим ранее найденные значения:

\(\cos(\theta) = \frac{27}{\sqrt{27} \cdot \sqrt{27}}\)

Упрощая выражение, получаем:

\(\cos(\theta) = \frac{1}{3}\)

5. Теперь найдем сам угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:

\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\)

Значение угла можно выразить в радианах или градусах, в зависимости от того, какую единицу нужно использовать.

6. Для нахождения расстояния между серединами отрезков \(AB\) и \(CD\), найдем координаты серединных точек.

\[M_{AB} = \left(\frac{x_a + x_b}{2}, \frac{y_a + y_b}{2}, \frac{z_a + z_b}{2}\right)\]
\[M_{AB} = \left(\frac{5 + 0}{2}, \frac{0 - 1}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right)\]

После вычислений мы получаем:

\(M_{AB} = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\)

Аналогично для \(M_{CD}\):

\[M_{CD} = \left(\frac{x_c + x_d}{2}, \frac{y_c + y_d}{2}, \frac{z_c + z_d}{2}\right)\]
\[M_{CD} = \left(\frac{3 + (-2)}{2}, \frac{0 - 1}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right)\]

После вычислений мы получаем:

\(M_{CD} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\)

7. Наконец, найдем расстояние между точками \(M_{AB}\) и \(M_{CD}\) с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{(x_{AB} - x_{CD})^2 + (y_{AB} - y_{CD})^2 + (z_{AB} - z_{CD})^2}\)

Подставим координаты серединных точек:

\(d = \sqrt{\left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right)^2}\)

Упростив выражение, мы получаем:

\(d = \sqrt{2}\)

Таким образом, угол между векторами \(AV\) и \(CD\) равен \(\theta\) (в радианах или градусах), а расстояние между серединами отрезков \(AB\) и \(CD\) равно \(\sqrt{2}\) (единицы длины).