Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра, если высота основания составляет

Utkonos

25

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы для нахождения площади поверхности правильного тетраэдра. Общая формула для площади поверхности прямой, треугольной или правильной пирамиды выглядит следующим образом:

\[S = S_1 + S_2 + \ldots + S_n\]

где \(S\) - площадь поверхности пирамиды, а \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) - площади боковых граней.

Для правильного тетраэдра, у которого все грани являются равносторонними треугольниками, у нас есть 4 боковые грани. Таким образом, мы должны найти площадь одной грани и умножить ее на 4, чтобы получить общую площадь поверхности тетраэдра.

Площадь равностороннего треугольника можно найти с использованием формулы Герона:

\[S_{\text{тр}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a, b, c\) - длины сторон треугольника.

В случае правильного тетраэдра, все стороны равны, поэтому формула упрощается до:

\[S_{\text{тр}} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника (в нашем случае, длина основания).

Теперь нам нужно найти площадь трех граней тетраэдра. Поскольку каждая грань имеет форму равностороннего треугольника, мы можем использовать вышеуказанную формулу для вычисления площади каждой грани.

Итак, сумма площадей граней будет:

\[S = S_{\text{тр}} + S_{\text{тр}} + S_{\text{тр}} + S_{\text{тр}} = 4S_{\text{тр}}\]

Теперь, подставляя формулу для площади треугольника, получаем:

\[S = 4 \cdot \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = 2\sqrt{3}a^2\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильного тетраэдра равна \(2\sqrt{3}a^2\), где \(a\) - длина стороны основания.