Какова площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр радиусом R и высотой H? Если

Диана

27

Хорошо, давайте решим задачу.

Перед тем, как приступить к решению, нарисуем схематический рисунок задачи, чтобы было легче визуализировать ее.

     ________

   /         /|

  /       /  |

 /______/   |

|        |  /|

|        | / |

|        |/  |

|________|  /

Здесь изображен цилиндр радиусом R и высотой H, в котором вписана четырехугольная призма.

Для решения задачи, нам потребуется найти площадь полной поверхности призмы, то есть сумму площадей ее всех боковых граней и двух оснований.

Обратимся к боковым граням призмы. Они являются прямоугольниками. Заметим, что высота боковых граней призмы равна высоте цилиндра (H), а их длина равна окружности основания цилиндра. Для нахождения длины основания, вспомним формулу для длины окружности:

\[ L = 2 \pi R \],

где L - длина окружности, R - радиус цилиндра.

Теперь рассмотрим площадь двух оснований призмы. Они являются прямоугольными треугольниками со сторонами, равными длине окружности основания цилиндра (L) и высотой цилиндра (H).

Таким образом, площадь одной боковой грани равна высоте цилиндра (H) умноженной на длину окружности основания (L), а площадь двух оснований равна площади прямоугольного треугольника:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot H \cdot L \].

Наконец, для нахождения полной площади поверхности призмы, мы должны сложить площади боковых граней и двух оснований:

\[ S_{\text{поверхности}} = 2 \cdot S_{\text{боковой грани}} + 2 \cdot S_{\text{основания}} \].

Теперь, зная все формулы, мы можем подставить значения радиуса (R) и высоты (H) цилиндра в эти формулы и решить задачу.

Напишем пошаговое решение для школьника:

Шаг 1: Найдем длину окружности основания цилиндра. Используем формулу \( L = 2 \pi R \).
Шаг 2: Найдем площадь одной боковой грани призмы. Умножим высоту цилиндра (H) на длину окружности (L).
Шаг 3: Найдем площадь двух оснований призмы. Умножим половину высоты цилиндра (H) на длину окружности (L).
Шаг 4: Найдем полную площадь поверхности призмы. Умножим площадь одной боковой грани на 2 и прибавим площадь двух оснований, умноженную на 2.

Давайте выполним все шаги. У нас есть формулы и схематический рисунок, поэтому задача должна быть понятной.