Какова площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ основания равна корню из

Zagadochnyy_Sokrovische_7559

52

Окей, чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длину бокового ребра пирамиды.
У нас дана диагональ основания, которая равна корню из 2. Для нахождения длины бокового ребра воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю основания, боковым ребром и половиной диагонали основания.

Мы знаем, что диагональ основания равна корню из 2, поэтому длина половины диагонали основания будет \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 45 градусов, что означает, что прилежащий к нему угол в прямоугольном треугольнике также равен 45 градусам.
Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины бокового ребра.

По определению тангенса, \(\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\)
В нашем случае угол \(\theta\) равен 45 градусам, а противолежащий катет - половина диагонали основания, то есть \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь мы можем найти прилежащий катет, который будет также являться длиной бокового ребра пирамиды.

\(\tan(45^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\text{длина бокового ребра}}\)

Решая это уравнение, мы можем найти длину бокового ребра:
\(\text{длина бокового ребра} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan(45^\circ)}\)

Математически, \(\tan(45^\circ)\) равно 1, поэтому:
\(\text{длина бокового ребра} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Площадь треугольника можно найти, используя формулу: площадь треугольника = \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

В нашем случае основанием треугольника является боковое ребро пирамиды, а высота - длина бокового ребра пирамиды.

Поэтому площадь боковой поверхности будет:
\(\text{площадь боковой поверхности} = \frac{1}{2} \times \text{длина бокового ребра} \times \text{длина бокового ребра}\)

Подставляя значение длины бокового ребра (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)) в формулу, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
\(\text{площадь боковой поверхности} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\)

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, основание - квадрат со стороной, равной длине бокового ребра.

Поэтому площадь основания будет: \(\text{площадь основания} = \text{сторона} \times \text{сторона}\)

Площадь основания равна квадрату длины бокового ребра пирамиды: \(\text{площадь основания} = (\text{длина бокового ребра})^2\)

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, складывая площадь боковой поверхности и площадь основания:
\(\text{площадь полной поверхности} = \text{площадь боковой поверхности} + \text{площадь основания} = \frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{3}{4}\).