Какова площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, в которой двугранный угол при ребре основания

Vesenniy_Veter_1829

10

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды. Перед тем как приступить к расчетам, давайте разберемся в том, как можно получить данную формулу.

Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Если основание правильной треугольной пирамиды имеет сторону \( a \) и её высота \( h \), то площадь её основания можно вычислить по формуле \( S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times a^2 \). Почему мы использовали эту формулу? Потому что площадь равностороннего треугольника (какая является основанием) равна \( \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times a^2 \).

Теперь давайте перейдём к расчету площади боковой поверхности. В данной задаче говорится, что двугранный угол при ребре основания составляет 30°, а радиус окружности, описанной вокруг основания, равен \( R \). Мы знаем, что, если провести радиус окружности на боковую сторону треугольника, он будет являться высотой пирамиды. Обозначим эту высоту как \( h \).

Так как угол при ребре основания равен 30°, то его смежный угол (угол между основанием и высотой) равен \( 90° - 30° = 60° \). Теперь мы можем воспользоваться свойствами треугольника и выразить боковую сторону через радиус:

\[ h = R \cos{(60°)} = \frac{R}{2} \]

А площадь боковой поверхности, \( S_{\text{бок}} \), треугольной пирамиды с высотой \( h \) и боковым ребром \( a \) можно найти по следующей формуле: \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l \), где \( l \) - длина бокового ребра пирамиды. Мы можем выразить длину бокового ребра через высоту пирамиды и радиус ответвующей окружности:

\[ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + R^2} = \sqrt{\frac{R^2}{4} + R^2} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R}{2} \sqrt{5} \]

Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times a \times \left(\frac{R}{2} \sqrt{5}\right) = \frac{aR}{4} \sqrt{5} \]

Таким образом, общая площадь поверхности правильной треугольной пирамиды будет равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 + \frac{aR}{4} \sqrt{5} \]

В этой формуле мы подставляем значение \( \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times a^2 \) для площади основания и значение \( \frac{aR}{4} \sqrt{5} \) для площади боковой поверхности, которые мы рассчитали ранее.