Какова площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, у которой диагональ боковой грани равна 12
Какова площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, у которой диагональ боковой грани равна 12 см и образует угол 60° с плоскостью основания? Предъявите рисунок с целью иллюстрации данной задачи.
Snezhok 61
Итак, первым делом нам нужно понять, что такое правильная треугольная призма. Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является равносторонним треугольником, а боковые грани - равнобедренные треугольники.Теперь перейдем к задаче. У нас есть правильная треугольная призма, у которой длина диагонали боковой грани равна 12 см и образует угол 60° с плоскостью основания.
Давайте нарисуем схематический рисунок призмы для наглядности.
На рисунке выше, ABC - это основание призмы, а DEF - боковая грань с диагональю DE, которая образует угол 60° с плоскостью основания. Давайте немного пометим наш рисунок для лучшего понимания.
Теперь у нас есть основание ABC и боковая грань DEF. Раз у нас равносторонний треугольник ABC, все его стороны равны между собой. Поэтому, пусть сторона треугольника ABC равна \(a\) см.
Мы знаем, что диагональ боковой грани DEF равна 12 см и образует угол 60° с плоскостью основания ABC. Рассмотрим треугольник DEF. Он является равнобедренным треугольником, поскольку его диагональ DE и сторона DF совпадают (оба равны стороне треугольника ABC). Значит, DF = DE = \(a\) см.
Мы также знаем, что угол между DF и плоскостью ABC равен 60°. Давайте продолжим наш рисунок, чтобы лучше увидеть это.
Теперь обратите внимание, что у нас есть равнобедренный треугольник DEF, у которого угол между DF и плоскостью ABC равен 60°. Это означает, что угол между стороной DF и основанием ABC также равен 60°.
Что мы можем сделать дальше? Мы можем разбить треугольник DEF пополам по стороне DF, чтобы получить два прямоугольных треугольника.
Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника DFG и EFH. Поскольку треугольник DFG является равнобедренным, углы DGF и DFG равны. А так как угол DGF равен углу EFA (так как угол между стороной DF и основанием ABC равен 60°), то получаем, что углы EFA и EAF также равны.
Что это означает? Это означает, что мы получили прямоугольный треугольник AEF с углами EAF, AFE и EFA. Но поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получается, что угол EFA равен 180° - угол EAF - угол AFE = 180° - 60° - 90° = 30°.
Теперь мы знаем, что угол EFA равен 30°. Мы также знаем, что EF = a см и FE = \(a/2\) см (поскольку мы разбили сторону DF пополам). У нас есть прямоугольный треугольник AEF, и мы хотим найти его высоту AF.
Как мы можем найти высоту треугольника AF? Мы можем использовать тригонометрию. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEF. У нас есть угол EFA равный 30°, сторона EF равна a см и сторона FE равна \(a/2\) см.
Тангенс угла EFA равен отношению противолежащего катета (FE) к прилежащему катету (EF). Мы можем использовать это знание, чтобы найти высоту AF.
Тангенс угла EFA = FE / EF
Тангенс 30° = \(a/2\) см / a см = 1/2
Теперь давайте найдем высоту треугольника AF.
Тангенс 30° = 1/2
Чтобы найти высоту AF, мы должны умножить тангенс 30° на сторону EF.
AF = EF * тангенс 30° = a см * 1/2 = a/2 см
Таким образом, высота треугольника AF равна \(a/2\) см.
Этот результат представляет собой высоту одного из прямоугольных треугольников, которые были созданы при разделении треугольника DEF пополам. Но поскольку треугольник DEF состоит из двух таких треугольников, то их общая высота будет в два раза больше. То есть, высота треугольной призмы равна \(a\) см.
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности треугольной призмы. Для этого нужно вычислить площади оснований и боковых поверхностей, а затем сложить их.
Площадь основания треугольной призмы - это площадь равностороннего треугольника ABC. Для равностороннего треугольника площадь можно вычислить по формуле:
\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
Площадь боковых поверхностей - это площадь двух равнобедренных треугольников DEF. Для равнобедренного треугольника площадь можно вычислить по формуле:
\[S_{\text{боковых}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AF\]
Теперь давайте подставим значения и вычислим площади.
Площадь основания:
\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \, \text{см}^2\]
Площадь боковых поверхностей:
\[S_{\text{боковых}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AF\]
\[S_{\text{боковых}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 = 3 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2\]
Теперь мы можем найти полную площадь поверхности треугольной призмы, сложив площади основания и боковых поверхностей.
Полная площадь поверхности треугольной призмы:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + 2 \cdot S_{\text{боковых}}\]
\[S_{\text{полная}} = 36\sqrt{3} + 2 \cdot 18 = 36\sqrt{3} + 36 \, \text{см}^2\]
Итак, площадь полной поверхности данной треугольной призмы составляет \(36\sqrt{3} + 36 \, \text{см}^2\).
Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять решение задачи и получить желаемый результат.