Какова площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, у которой все рёбра имеют длину 2√3?

Oleg

35

Для правильной треугольной призмы, у которой все рёбра имеют длину \(2\sqrt{3}\), площадь полной поверхности можно найти, используя формулу. Полная поверхность правильной треугольной призмы состоит из трёх равных боковых поверхностей и двух оснований.

1. Найдём площадь одной боковой поверхности. Поскольку у нас правильная треугольная призма, каждая боковая поверхность - равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставляя \( a = 2\sqrt{3} \):

\[ S_{\text{бок}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}. \]

Так как у нас три боковые поверхности, то общая площадь боковых поверхностей равна:

\[ S_{\text{бок, общ}} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \]

2. Найдём площадь основания. У нас основание это правильный треугольник, для которого площадь можно найти по формуле \( S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Подставляя \( a = 2\sqrt{3} \):

\[ S_{\text{осн}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}. \]

Так как у нас два основания, общая площадь оснований равна:

\[ S_{\text{осн, общ}} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \]

3. Итак, общая площадь полной поверхности правильной треугольной призмы равна:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок, общ}} + S_{\text{осн, общ}} = 9\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3}. \]

Таким образом, площадь полной поверхности данной правильной треугольной призмы равна \( 15\sqrt{3} \).