Какова площадь полной поверхности треугольной пирамиды, у которой апофема равна 4√3 см и двугранный угол при ребре

Ягода

60

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать формулу для нахождения площади полной поверхности треугольной пирамиды. Найдем ее.

Площадь полной поверхности треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}},\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Мы знаем, что основание треугольной пирамиды - это равносторонний треугольник, а двугранный угол при его ребре составляет 60°.

Чтобы найти площадь основания \(S_{\text{осн}}\), воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4},\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

Так как у нас нет информации о длине стороны треугольника, нам нужно ее найти. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и углами, а именно:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma),\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(\gamma\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В нашем случае, у нас есть равносторонний треугольник, поэтому справедливо \(a = b = c\). Тогда формула упрощается до:
\[a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60°).\]

Решая это уравнение, найдем значение длины стороны треугольника:
\[a = \frac{{4 \sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = 4.\]

Теперь, когда у нас есть значение стороны треугольника \(a\), мы можем вычислить площадь основания пирамиды:
\[S_{\text{осн}} = \frac{{4^2 \sqrt{3}}}{4} = 4 \sqrt{3}.\]

Теперь давайте найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) для треугольной пирамиды можно вычислить по формуле:
\[S_{\text{бок}} = \frac{{a \cdot p}}{2},\]
где \(p\) - периметр основания пирамиды.

Для нашего равностороннего треугольника периметр \(p\) равен:
\[p = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12.\]

Используя эту информацию, мы можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:
\[S_{\text{бок}} = \frac{{4 \cdot 12}}{2} = 24.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания \(S_{\text{осн}}\) и площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\), мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды:
\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4 \sqrt{3} + 24.\]

Таким образом, мы получили, что площадь полной поверхности треугольной пирамиды равна \(4 \sqrt{3} + 24\) квадратных сантиметров.