Какова площадь поверхности куба, который описан вокруг шара с радиусом 3 см? Каков объем этого куба?

Zvuk

62

Для решения задачи нам понадобится использовать некоторые формулы и свойства геометрии. Давайте начнем с площади поверхности куба, описанного вокруг шара.

1. Площадь поверхности куба:
Площадь поверхности куба можно найти с помощью формулы:
\[S = 6a^2,\]
где \(a\) - длина ребра куба.

2. Построение куба:
Заметим, что куб, описанный вокруг шара, будет состоять из 6 одинаковых квадратных граней. Каждая грань равна дважды пересеченной поверхности шара, поэтому длина ребра куба равна удвоенному радиусу шара:
\[a = 2 \cdot r,\]
где \(r\) - радиус шара.

3. Вычисление площади поверхности куба:
Подставим значение \(a\) в формулу площади поверхности куба:
\[S = 6 \cdot (2 \cdot r)^2 = 6 \cdot 4 \cdot r^2 = 24 \cdot r^2.\]
Таким образом, площадь поверхности куба равна 24 умножить на квадрат радиуса шара.

4. Вычисление объема куба:
Так как куб имеет все ребра одинаковой длины, то его объем можно найти, возведя в куб значение длины ребра:
\[V = a^3 = (2 \cdot r)^3 = 8 \cdot r^3.\]
Таким образом, объем куба равен 8 умножить на куб радиуса шара.

Итак, для данного задания:
- Площадь поверхности куба, описанного вокруг шара с радиусом 3 см, равна \(24 \cdot (3\, см)^2\).
- Объем этого куба равен \(8 \cdot (3\, см)^3\).

Не забудьте в итоговом ответе указать единицы измерения.