Какова площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все грани имеют прямые двугранные углы)?

Sherlok

42

Хорошо, чтобы решить эту задачу, давайте вместе разберёмся с многогранником на рисунке. Чтобы найти площадь его поверхности, мы можем разделить многогранник на отдельные грани и посчитать площадь каждой грани. Затем мы сложим все площади граней, чтобы получить общую площадь поверхности многогранника.

Для начала, давайте определимся с числом граней у данного многогранника на рисунке. Мы можем видеть, что многогранник состоит из прямоугольной базы и нескольких треугольных граней, которые встречаются на краях базы. Определимся с площадью базы.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину его стороны \(a\) на длину стороны \(b\). По рисунку, мы видим, что сторона прямоугольника \(a\) равна 8 см, а сторона \(b\) равна 10 см. Таким образом, площадь базы многогранника равна \(8 \times 10 = 80\) квадратных сантиметров.

Теперь нам нужно рассмотреть треугольные грани многогранника. Обратите внимание, что у каждого треугольника две стороны равны длине стороны прямоугольника базы (\(a = 8\) см), и одна сторона - длине другой стороны прямоугольника базы (\(b = 10\) см).

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона, в которой высоту треугольника (\(h\)) можно найти с использованием выражения \(\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\), где \(s\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, \(a = b = 8\) см, \(c = 10\) см. Полупериметр можно найти, сложив длины всех сторон и разделив полученную сумму на 2. В нашем случае, полупериметр равен \((8 + 8 + 10) / 2 = 26 / 2 = 13\) см.

Теперь, используя формулу Герона, мы можем найти высоту \(h\) треугольника:
\[
h = \sqrt{13 \cdot (13 - 8) \cdot (13 - 8) \cdot (13 - 10)} \approx \sqrt{13 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3} \approx \sqrt{975} \approx 31,3 \text{ см}
\]

Теперь можем найти площадь каждого треугольника, используя формулу для площади треугольника: \((1/2) \cdot a \cdot h\) (где \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - длина высоты треугольника):
\[
\text{Площадь одного треугольника} = (1/2) \cdot 8 \cdot 31,3 \approx 125,2 \text{ квадратных сантиметров}
\]

Так как на рисунке присутствуют четыре таких треугольных грани, общая площадь всех таких граней будет равна:
\[
\text{Площадь всех треугольных граней} = 4 \times 125,2 = 500,8 \text{ квадратных сантиметров}
\]

Наконец, чтобы найти площадь поверхности многогранника, мы суммируем площадь базы и площадь всех треугольных граней:
\[
\text{Площадь поверхности многогранника} = 80 + 500,8 = 580,8 \text{ квадратных сантиметров}
\]

Итак, площадь поверхности данного многогранника, изображенного на рисунке, равна 580,8 квадратных сантиметров.