Какова площадь поверхности, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его большего катета

Звездопад_На_Горизонте

36

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади поверхности вращения. Дано, что треугольник прямоугольный, поэтому мы можем применить соответствующую формулу.

Формула для расчета площади поверхности вращения вокруг оси:

\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f"(x))^2} dx \]

где \(f(x)\) - функция от \(x\) (в нашем случае это будет функция, описывающая прямую сторону треугольника), \(a\) и \(b\) - интервалы (в нашем случае это будут границы поворота вокруг большего катета), а \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).

Для начала, давайте найдем функцию, описывающую прямую сторону треугольника. Для этого нам понадобятся данные о сторонах треугольника.

По условию задачи, дано, что противолежащая углу в 30 градусов сторона равна \(x\). Из этого следует, что больший катет треугольника равен \(x\), так как он примыкает к прямому углу. А меньший катет будет равен \(x/2\), так как треугольник является прямоугольным и угол в 30 градусов делит противолежащую сторону пополам.

Итак, функция для прямой стороны треугольника будет:

\[ f(x) = \frac{x}{2} \]

Теперь нам необходимо найти производную от функции \(f(x)\), чтобы использовать ее в формуле.

\[ f"(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть все данные для использования формулы. Подставим найденные значения в формулу и найдем площадь:

\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} \frac{x}{2}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} dx \]

Для определения интервалов интегрирования \(a\) и \(b\) мы должны знать, вокруг какой оси происходит вращение.

Согласно условию задачи, вращение происходит вокруг большего катета. Поэтому интервалы интегрирования будут зависеть от длины большего катета \(x\).

Предположим, что больший катет равен \(a\), тогда меньший катет будет равен \(a/2\), а гипотенуза может быть вычислена с использованием теоремы Пифагора:

\[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + x^2 \]

\[ a^2 = \frac{a^2}{4} + x^2 \]

\[ \frac{3a^2}{4} = x^2 \]

\[ x = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a \]

Теперь мы можем заменить \(x\) в формуле для площади:

\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} \frac{x}{2}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} dx \]

\[ S = 2\pi \int_{a}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}a} \frac{x}{2}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} dx \]

\[ S = \pi \sqrt{\frac{5}{4}} \int_{a}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}a} x dx \]

\[ S = \pi \sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}\]

\[ S = \pi \sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \frac{4}{9}a^2 \]

\[ S = \frac{2\sqrt{5}}{9} \pi a^2 \]

Итак, площадь поверхности, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его большего катета, равна \(\frac{2\sqrt{5}}{9} \pi a^2\), где \(a\) - длина большего катета.