Какова площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если стороны ее основания равны 72, а длина боковых

Космос

18

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно разделить ее на несколько частей и вычислить площадь каждой части, а затем сложить эти площади.

Первая часть, которую нужно вычислить, - это площадь основания пирамиды. Основание пирамиды - это четырехугольник, у которого стороны равны 72. Чтобы найти площадь этого четырехугольника, можно воспользоваться формулой площади четырехугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), где \( a \) и \( b \) - длины двух сторон основания пирамиды, а \( C \) - угол между ними.

В нашем случае \( a = 72 \) и \( b = 72 \), так как стороны основания равны. Также, в случае правильной четырехугольной пирамиды, угол \( C \) равен 90 градусов, потому что противоположные стороны основания перпендикулярны. Подставим значения в формулу:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 72 \cdot \sin(90) \]

Угол синуса 90 градусов равен 1, поэтому выражение упростится:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 72 \cdot 1 = 2592 \]

Площадь основания равна 2592 квадратным единицам.

Вторая часть, которую нужно вычислить, - это площадь боковых сторон пирамиды. Боковые стороны пирамиды - это треугольники, две стороны которых равны 72 (стороны основания), а одна сторона равна 164 (длина боковых ребер). Чтобы найти площадь каждого треугольника, можно воспользоваться формулой площади треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), где \( a \) и \( b \) - длины двух сторон треугольника, а \( C \) - угол между ними.

В нашем случае \( a = 72 \), \( b = 164 \) и \( C = 90 \) градусов, так как одна из сторон треугольника перпендикулярна к основанию пирамиды. Подставим значения в формулу:

\[ S_{\text{боковых сторон}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 164 \cdot \sin(90) \]

Угол синуса 90 градусов равен 1, поэтому выражение упростится:

\[ S_{\text{боковых сторон}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 164 \cdot 1 = 5904 \]

Площадь боковых сторон пирамиды равна 5904 квадратным единицам.

Теперь сложим площади основания и боковых сторон пирамиды, чтобы найти общую площадь поверхности:

\[ S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых сторон}} = 2592 + 5904 = 8496 \]

Таким образом, площадь поверхности данной правильной четырехугольной пирамиды составляет 8496 квадратных единиц.