Какова площадь поверхности правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным 8 см, и наклоненным к плоскости

Koko

55

Конечно! Давайте рассмотрим задачу подробно.

Нам дана правильная треугольная пирамида с боковым ребром $AB$ равным 8 см и углом наклона к плоскости основания $ACD$ равным 60º. Для того чтобы найти площадь поверхности этой пирамиды, нам понадобится знать боковое ребро и угол наклона.

Давайте нарисуем эту пирамиду с основанием в виде треугольника $ACD$ и боковыми ребрами $AB$, $BC$ и $CD$. Также обозначим высоту пирамиды $AH$ и высоту треугольника $ABC$ как $HG$.

$$image$$

Перейдем к решению задачи. Сначала найдем высоту треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения высоты равнобедренного треугольника:

$$HG=\frac{AB}{2}\cdot \tan (\frac{\mathrm{\angle }ACB}{2})$$

Подставим известные значения:

$$HG=\frac{8}{2}\cdot \tan (\frac{60º}{2})$$

Вычислим значение:

$$HG=4\cdot \tan (30º)$$

Так как $\tan (30º)=\frac{1}{\sqrt{3}}$, то

$$HG=4\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$$

Теперь, когда мы знаем высоту треугольника $ABC$, можем найти площадь этого треугольника используя формулу:

$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot HG}{2}$$

Подставим значения:

$$S_{ABC}=\frac{8\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}}{2}$$

Упростим выражение:

$$S_{ABC}=\frac{32}{\sqrt{3}}$$

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Помните, что пирамида имеет четыре боковых треугольника, с одной общей стороной с основанием и с другой стороной, равной боковому ребру.

Таким образом, площадь боковой поверхности $S_{пирамиды}$ равна площади одного треугольника $S_{ABC}$, умноженной на 4, так как у нас четыре таких треугольника:

$$S_{пирамиды}=4\cdot S_{ABC}$$

Подставим значение $S_{ABC}$ и рассчитаем площадь боковой поверхности:

$$S_{пирамиды}=4\cdot \frac{32}{\sqrt{3}}$$

Упростим выражение:

$$S_{пирамиды}=\frac{128}{\sqrt{3}}$$

Итак, ответ: площадь поверхности данной треугольной пирамиды равна $\frac{128}{\sqrt{3}}$ квадратных сантиметров.

Я надеюсь, что это пошаговое решение было понятным и полезным для вас!