Какова площадь поверхности правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным 8 см, и наклоненным к плоскости

Koko

55

Конечно! Давайте рассмотрим задачу подробно.

Нам дана правильная треугольная пирамида с боковым ребром \(AB\) равным 8 см и углом наклона к плоскости основания \(ACD\) равным 60º. Для того чтобы найти площадь поверхности этой пирамиды, нам понадобится знать боковое ребро и угол наклона.

Давайте нарисуем эту пирамиду с основанием в виде треугольника \(ACD\) и боковыми ребрами \(AB\), \(BC\) и \(CD\). Также обозначим высоту пирамиды \(AH\) и высоту треугольника \(ABC\) как \(HG\).

\[image\]

Перейдем к решению задачи. Сначала найдем высоту треугольника \(ABC\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения высоты равнобедренного треугольника:

\[HG = \frac{AB}{2} \cdot \tan(\frac{\angle ACB}{2})\]

Подставим известные значения:

\[HG = \frac{8}{2} \cdot \tan(\frac{60º}{2})\]

Вычислим значение:

\[HG = 4 \cdot \tan(30º)\]

Так как \(\tan(30º) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), то

\[HG = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Теперь, когда мы знаем высоту треугольника \(ABC\), можем найти площадь этого треугольника используя формулу:

\[S_{ABC} = \frac{AB \cdot HG}{2}\]

Подставим значения:

\[S_{ABC} = \frac{8 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[S_{ABC} = \frac{32}{\sqrt{3}}\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Помните, что пирамида имеет четыре боковых треугольника, с одной общей стороной с основанием и с другой стороной, равной боковому ребру.

Таким образом, площадь боковой поверхности \(S_{пирамиды}\) равна площади одного треугольника \(S_{ABC}\), умноженной на 4, так как у нас четыре таких треугольника:

\[S_{пирамиды} = 4 \cdot S_{ABC}\]

Подставим значение \(S_{ABC}\) и рассчитаем площадь боковой поверхности:

\[S_{пирамиды} = 4 \cdot \frac{32}{\sqrt{3}}\]

Упростим выражение:

\[S_{пирамиды} = \frac{128}{\sqrt{3}}\]

Итак, ответ: площадь поверхности данной треугольной пирамиды равна \(\frac{128}{\sqrt{3}}\) квадратных сантиметров.

Я надеюсь, что это пошаговое решение было понятным и полезным для вас!