Какова площадь поверхности прямоугольной пирамиды со стороной основания и высотой h, если двугранный угол при стороне

Раиса

20

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольной пирамиды со стороной основания и высотой h, нам понадобится знать её грани.

Для начала, определим, какие грани есть у нашей пирамиды. У неё есть основание - прямоугольник, и четыре треугольных грани, образующих боковую поверхность пирамиды. По заданию, угол между основанием и боковой гранью равен 45 градусам.

Для того чтобы найти площади граней, нам понадобится формула площади прямоугольника и формула площади равнобедренного треугольника.

Площадь прямоугольника рассчитывается как произведение его сторон. Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда площадь S основания пирамиды равна \( S_{\text{осн}} = a \cdot b \).

Площадь равнобедренного треугольника рассчитывается по формуле \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} \), где a - основание треугольника, h_{\text{бок}} - высота боковой грани пирамиды.

У нас есть четыре боковые грани, поэтому общая площадь боковых граней будет \( S_{\text{бок}}_{\text{общ}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} \).

Наконец, чтобы найти площадь поверхности пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковых граней: \( S_{\text{поверх}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}_{\text{общ}} \).

Теперь, разберемся шаг за шагом.

1. Площадь основания пирамиды:
- Из условия известно, что сторона основания равна a.
- Также известно, что угол между основанием и боковой гранью равен 45 градусам.
- Вспомним, что прямоугольник имеет две пары равных сторон.
- В нашем случае, сторона основания a и сторона основания b равны.
- Поэтому, a = b.
- Так как у нас есть основание прямоугольной формы, площадь можно найти, умножив длину основания на высоту: \( S_{\text{осн}} = a \cdot b \).
- Но мы уже знаем, что a = b, поэтому \( S_{\text{осн}} = a \cdot a = a^2 \).

2. Площадь боковой грани:
- Обратимся к формуле площади равнобедренного треугольника, \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} \).
- Угол между основанием и боковой гранью равен 45 градусам.
- Вспомним, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
- В нашем случае, a и b - основание треугольника, равны.
- Также, высота боковой грани h_{\text{бок}} равна высоте пирамиды h.
- Таким образом, \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).

3. Площадь боковых граней:
- У нас есть четыре боковые грани, поэтому общая площадь боковых граней равна
\( S_{\text{бок}}_{\text{общ}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2 \cdot a \cdot h \).

4. Площадь поверхности пирамиды:
- Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковых граней:
\( S_{\text{поверх}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}_{\text{общ}} = a^2 + 2 \cdot a \cdot h \).

Итак, площадь поверхности прямоугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h, при условии двугранного угла в 45 градусов, равна \( S_{\text{поверх}} = a^2 + 2 \cdot a \cdot h \).