Какова площадь поверхности сферы, вписанной в конус с длиной образующей l и углом при вершине осевого сечения равным

Skolzkiy_Pingvin

43

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать несколько формул и свойств. Давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем радиус сферы, вписанной в конус.

По свойству сферы, каждая точка на ее поверхности располагается на одинаковом расстоянии от ее центра. Таким образом, радиус сферы будет равен расстоянию от ее центра до середины основания конуса.

Для нахождения радиуса сферы применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному полупериметром основания конуса и радиусом шара. Пусть \( r \) - радиус шара, \( l \) - длина образующей конуса и \( a \) - полупериметр основания конуса. Тогда \( a = \frac{{l}}{2} \) и \( r \) мы и ищем.

С использованием теоремы Пифагора в треугольнике, получаем:
\[ l^2 = r^2 + (2a)^2 \]

Раскроем скобки в правой части уравнения:
\[ l^2 = r^2 + 4a^2 \]

Шаг 2: Найдем площадь основания конуса.

Площадь основания конуса может быть найдена по формуле: \( S_{\text{осн. конуса}} = \pi r^2 \), где \( r \) - радиус основания конуса.

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса может быть найдена по формуле: \( S_{\text{бок. пов. конуса}} = \pi rl \), где \( r \) - радиус основания конуса, а \( l \) - длина образующей конуса.

Шаг 4: Найдем площадь сферы.

Площадь сферы \( S_{\text{сферы}} \) может быть найдена по формуле: \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi r^2 \), где \( r \) - радиус сферы.

Так как сфера вписана в конус, то площадь сферы равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности конуса.

Теперь, имея все необходимые формулы и значения, давайте найдем площадь сферы по заданным данным.

1) Найдем радиус сферы, вписанной в конус:
\[ l^2 = r^2 + 4a^2 \]
\[ r^2 = l^2 - 4a^2 \]
\[ r = \sqrt{l^2 - 4a^2} \]

2) Найдем площадь основания конуса:
\[ S_{\text{осн. конуса}} = \pi r^2 \]

3) Найдем площадь боковой поверхности конуса:
\[ S_{\text{бок. пов. конуса}} = \pi rl \]

4) Найдем площадь сферы:
\[ S_{\text{сферы}} = S_{\text{осн. конуса}} + S_{\text{бок. пов. конуса}} \]

Таким образом, получаем площадь поверхности сферы, вписанной в конус с длиной образующей \( l \) и углом при вершине осевого сечения равным \( 60 \) градусам.