Какова площадь поверхности тела, полученного вращением отрезка МК, являющегося средней линией треугольника Ар стороне

Letayuschaya_Zhirafa

69

Для начала, нам необходимо визуализировать данную задачу. Давайте нарисуем треугольник ABC, где AB = 15 см, AC = 14 см и BC = 13 см. Затем нам необходимо найти среднюю линию треугольника Ар, которая является отрезком МК.

Для этого, построим сегмент CK, который будет параллельным стороне АВ и соединит точку В с точкой М. Здесь М будет серединой стороны ВС. В результате получится треугольник BCK.

Теперь, чтобы найти площадь поверхности тела, полученного вращением отрезка МК вокруг стороны АС, мы можем использовать формулу поверхности вращения.

\[
S = 2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+(f"(x))^2} dx
\]

Здесь наше f(x) - это функция, описывающая отрезок МК в зависимости от x, и x изменяется от a до b.

Обозначим длину отрезка МК как l. Так как М это середина отрезка BC, то l = CK. Поскольку отрезок CK параллелен отрезку AB, мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти длину l.

\[
\frac{BC}{AB} = \frac{CK}{MB}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\frac{13}{15} = \frac{CK}{\frac{1}{2} \cdot 13}
\]

Решаем уравнение:

\[
CK = \frac{13}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 = \frac{169}{30} см
\]

Теперь, мы можем записать функцию, описывающую отрезок МК в зависимости от x. Заметим, что отрезок вращается вокруг стороны АС, поэтому функция f(x) будет зависеть от расстояния от точки A до точки М.

Мы можем записать:

\[
f(x) = \frac{AB}{AC} \cdot x
\]

Здесь AB = 15 см и AC = 14 см. Теперь мы можем рассчитать площадь поверхности с помощью формулы поверхности вращения:

\[
S = 2 \pi \int_{0}^{\frac{169}{30}} \left(\frac{15}{14} \cdot x\right) \sqrt{1 + \left(\frac{15}{14}\right)^2} dx
\]

Вычисляя интеграл, получаем:

\[
S = 2 \pi \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{169}{60} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{15}{14}\right)^2}
\]

Теперь остается только вычислить значение выражения с помощью калькулятора, чтобы получить окончательный ответ.