Какова площадь правильного шестиугольника, если длина окружности, описанной вокруг него, равна

Сэр

46

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника, нам необходимо знать длину окружности, описанной вокруг него. Давайте сначала рассмотрим связь между длиной окружности и площадью правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, так как каждая сторона шестиугольника равна их сторонам.

Теперь давайте введем несколько обозначений:
- Пусть \(R\) - радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника.
- \(s\) - сторона треугольника, образующего шестиугольник.

Мы знаем, что длина окружности равна \(2\pi R\). Но так как шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, то сторона \(s\) будет равна длине окружности, деленной на 6:

\[s = \frac{{2\pi R}}{6} = \frac{{\pi R}}{3}\]

Теперь мы можем найти площадь одного из этих треугольников. Для этого воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{s^2\sqrt{3}}}{4}\]

Подставив значение \(s\):

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\left(\frac{{\pi R}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Учитывая, что у шестиугольника есть шесть таких треугольников, площадь всего шестиугольника будет равна:

\[S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times S_{\text{треугольника}}\]

Теперь мы можем подставить предыдущее значение \(S_{\text{треугольника}}\) и выразить площадь всего шестиугольника через радиус \(R\):

\[S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \frac{{\left(\frac{{\pi R}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Давайте упростим это выражение. Возведем \(\left(\frac{{\pi R}}{3}\right)^2\) в квадрат:

\[S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \frac{{\pi^2 R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}}{3^2 \cdot 4}\]

Сокращаем 3 и 4:

\[S_{\text{шестиугольника}} = \frac{{3\pi^2 R^2 \sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь правильного шестиугольника равна \(\frac{{3\pi^2 R^2 \sqrt{3}}}{2}\).

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам лучше понять, как найти площадь правильного шестиугольника, используя длину окружности, описанной вокруг него. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!