Як знайти площу круга, що вписаний у правильний трикутник, периметр якого дорівнює 24√3?

Карамелька

69

Щоб знайти площу круга, що вписаний у правильний трикутник з периметром 24√3, ми можемо скористатися деякими властивостями трикутника і кола.

Перш ніж ми розглянемо сам процес обчислення, давайте згадаємо кілька важливих властивостей. Для правильного трикутника весь внутрішній кут у вершині дорівнює 60 градусів. Крім того, центр кола, яке вписано у правильний трикутник, збігається з центром трикутника. Виразімо периметр трикутника через довжину сторони a:

Периметр трикутника: P = 3a

Також визначимо радіус кола, яке вписане у трикутник, як r. Знаючи, що центр кола співпадає з центром трикутника, можемо зобразити відрізки, які поєднують центр кола з вершинами трикутника.

Отже, утворені трикутники є рівнобедреними, оскільки вони мають дві рівні сторони – радіус кола. Покажемо це наступним чином:

\(\angle BOC = \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ\)

\(\angle BCO = \angle OCB = \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\)

Отже, трикутник BCO є рівнобедреним і \(BC = CO = r\).

Тепер ми можемо поділити трикутник BOC на два рівнобедрені трикутники BCO за допомогою відрізка BO. Оскільки BO є медіаною в рівнобедреному трикутнику, він ділиться на дві рівні частини. Тому BCO – правильний трикутник. В такому трикутнику можна легко знайти його бічні сторони або висоту за допомогою тригонометричних співвідношень.

Застосувавши теорему Піфагора до прямокутного трикутника BCO, отримаємо:

\((BC)^2 = (BO)^2 + (CO)^2\)

Але ми знаємо, що \(BC = CO = r\), тому можемо записати:

\(r^2 = (BO)^2 + r^2\)

Розв"язавши це рівняння відносно \(BO\), отримаємо:

\(BO = r\sqrt{3}\)

Тепер ми знаходимося на кроці, коли можемо обчислити радіус кола, якщо маємо довжину сторони трикутника. Виходячи з рівності \(BO = r\sqrt{3}\), ми отримуємо:

\(r\sqrt{3} = \dfrac{a}{2}\)

Поділимо обидві частини рівності на \(\sqrt{3}\):

\(r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}\)

Але також ми знаємо, що периметр трикутника P = 24√3. Підставимо дане значення до формули для периметру:

\(3a = 24\sqrt{3}\)

Розділимо обидві частини рівності на 3:

\(a = 8\sqrt{3}\)

Тепер ми можемо обчислити значення радіуса r:

\(r = \dfrac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)

Звільнимось від спільного множника \(\sqrt{3}\):

\(r = 4\)

Отже, радіус кола, що вписано у трикутник, дорівнює 4.

Нарешті, можемо обчислити площу круга за формулою:

\(S = \pi r^2\)

Підставляємо значення радіуса:

\(S = \pi \times 4^2\)

Обчислюємо площу:

\(S = 16\pi\)

Отже, площа круга, що вписана у правильний трикутник з периметром 24√3, дорівнює 16π.

Слід відзначити, що дане пояснення випробовувало велику кількість думок і роздумів для того, щоб з"ясувати і пояснити процес обчислення. Відповідь навмання надавати не рекомендується, оскільки школярі повинні розуміти логіку і порядок дій.