Какова площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом √27?

Юрий_7876

52

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать некоторые свойства правильных многоугольников и формулы для вычисления их площадей.

Свойство правильного многоугольника гласит, что все его стороны равны между собой, а все углы равны.

Для нахождения площади правильного шестиугольника, включенного в окружность радиусом \(\sqrt{27}\), мы можем воспользоваться формулой:

\[Площадь = \frac{3\sqrt{3} \times сторона^2}{2}\]

Где сторона - это длина одной стороны правильного шестиугольника.

Разобьем наше решение на несколько шагов:

Шаг 1: Найдите длину стороны правильного шестиугольника.
Для этого нам понадобится знать радиус окружности, в которую вписан шестиугольник. В данном случае, радиус окружности равен \(\sqrt{27}\).

Мы также знаем связь между радиусом окружности и длиной стороны правильного шестиугольника:

\[Длина стороны = 2 \times радиус \times \sin(\frac{\pi}{6})\]

\(\sin(\frac{\pi}{6})\) представляет собой синус угла в \(30^\circ\) или \(\frac{\pi}{6}\) радиан.

Шаг 2: Подставьте найденную длину стороны в формулу для нахождения площади шестиугольника.

После нахождения длины стороны, мы можем просто подставить ее в формулу:

\[Площадь = \frac{3\sqrt{3} \times (длина стороны)^2}{2}\]

Округлим значение площади до двух знаков после запятой для удобства.

Теперь, приступим к решению этой задачи:

Шаг 1: Найдем длину стороны.
Длина стороны = \(2 \times \sqrt{27} \times \sin(\frac{\pi}{6})\)

Вычислим значение синуса угла \(\frac{\pi}{6}\):
\(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5\)

Длина стороны = \(2 \times \sqrt{27} \times 0.5 = 3 \times \sqrt{27}\)

Шаг 2: Найдем площадь шестиугольника.
Площадь = \(\frac{3\sqrt{3} \times (3 \times \sqrt{27})^2}{2}\)

Раскроем скобки:
Площадь = \(\frac{3\sqrt{3} \times 9 \times 27}{2}\)

Упростим выражение:
Площадь = \(\frac{729\sqrt{3}}{2}\)

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом \(\sqrt{27}\), равна \(\frac{729\sqrt{3}}{2}\) или около 631.05 (округлено до двух знаков после запятой).