Какова площадь прямоугольника abcd, если биссектриса угла b, пересекающая сторону ad в точке f со сторонами af=4

Черешня

31

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться знаниями о биссектрисе угла и свойствах прямоугольников.

1. Обозначим длины сторон прямоугольника: \(a = AD\), \(b = AB\), \(c = BC\) и \(d = CD\).
2. Так как биссектриса угла B делит угол B пополам, то угол DFB также будет прямым.
3. Треугольник DFB является прямоугольным с известными катетами DF = 6 и AF = 4.
4. Найдем длину биссектрисы FB, применяя теорему Пифагора:
\[FB^2 = DF^2 + AF^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\]
\[FB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]
5. Так как биссектриса делит угол DFB пополам, то мы можем заметить, что треугольник DFB подобен треугольнику DAB, потому что у них углы равны (по условию) и по свойству биссектрисы.
6. Таким образом, мы можем записать пропорцию для подобных треугольников:
\[\frac{FB}{AB} = \frac{DF}{AD}\]
7. Подставим известные значения:
\[\frac{2\sqrt{13}}{b} = \frac{6}{a}\]
8. Отсюда найдем соотношение между сторонами прямоугольника:
\[b = \frac{2\sqrt{13} \cdot a}{6} = \frac{a\sqrt{13}}{3}\]
9. Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то \(a = c\) и \(b = d\).
10. Теперь мы можем выразить площадь прямоугольника через длины его сторон:
\[S = a \cdot b = a \cdot \frac{a\sqrt{13}}{3} = \frac{a^2\sqrt{13}}{3}\]
11. Подставим известные значения для стороны a:
\[S = \frac{4^2\sqrt{13}}{3} = \frac{16\sqrt{13}}{3} = \frac{16\sqrt{13}}{3}\,см^2\]
Таким образом, площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(\frac{16\sqrt{13}}{3}\,см^2\).