Какова площадь прямоугольника с периметром 198 и разницей его сторон

Звездная_Тайна

44

Чтобы найти площадь прямоугольника, у которого задан периметр и разница его сторон, мы должны использовать известную формулу для периметра прямоугольника:

\[P = 2(a + b)\]

Где P - периметр, a и b - длины сторон прямоугольника.

В данной задаче, периметр равен 198, поэтому мы можем записать уравнение:

\[198 = 2(a + b)\]

Но у нас есть дополнительное условие – разница между сторонами прямоугольника. Пусть "x" будет разницей между длиной большей стороны и меньшей стороны. Тогда мы можем записать:

\[b = a + x\]

Теперь мы можем подставить выражение для "b" в уравнение периметра:

\[198 = 2(a + (a + x))\]

Упростим это выражение:

\[198 = 2(2a + x)\]

\[198 = 4a + 2x\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases}198 = 4a + 2x\\b = a + x\end{cases}\]

Решим эту систему методом подстановки или методом исключения. Но для простоты расчетов воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим "x":

\[x = b - a\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[198 = 4a + 2(b - a)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[198 = 4a + 2b - 2a\]

\[198 = 2a + 2b\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[99 = a + b\]

Таким образом, мы получили, что сумма длин сторон прямоугольника равна 99.

Просуммируем уравнение для длин сторон прямоугольника и изначальное уравнение для разницы сторон:

\[a + b = 99\]
\[b = a + x\]

Заменим \(b\) в первом уравнении на \(a + x\):

\[a + (a + x) = 99\]

Суммируем \(a\):

\[2a + x = 99\]

Теперь имеем систему уравнений:

\[\begin{cases}2a + x = 99\\b = a + x\end{cases}\]

Нам нужно найти площадь прямоугольника, которая вычисляется по формуле:

\[S = a \cdot b\]

Теперь заменим \(b\) в формуле площади на \(a + x\):

\[S = a \cdot (a + x)\]

Раскроем скобки:

\[S = a^2 + ax\]

У нас есть два уравнения:

\[2a + x = 99\]
\[S = a^2 + ax\]

Мы хотим выразить \(S\) только через \(a\) и \(x\).

Воспользуемся первым уравнением, чтобы \(x\) осталось в одной переменной. Решим его относительно \(x\):

\[x = 99 - 2a\]

Теперь подставим \(x\) во второе уравнение:

\[S = a^2 + a(99 - 2a)\]

Раскроем скобки:

\[S = a^2 + 99a - 2a^2\]

Упростим:

\[S = -a^2 + 99a\]

Теперь у нас есть выражение для площади прямоугольника, зависящее только от \(a\).

Найдем максимальную площадь. Для этого найдем вершину параболы, заданной этим уравнением. Вершина параболы находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае формула выглядит как \(a = -\frac{99}{-2}\), что эквивалентно \(a = \frac{99}{2}\). Подставим это значение в уравнение для площади и найдем максимальную площадь:

\[S = -\left(\frac{99}{2}\right)^2 + 99 \cdot \frac{99}{2}\]

Выполним расчеты:

\[S = -\frac{99 \cdot 99}{4} + \frac{99 \cdot 99}{2} = \frac{99 \cdot 99}{4}\]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника равна \(\frac{99 \cdot 99}{4}\). Ответ: \(S = \frac{99 \cdot 99}{4}\) или \(S = 2450.25\).

Площадь прямоугольника с периметром 198 и разницей его сторон составляет 2450.25 квадратных единиц.