Какова площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшая боковая сторона равна 8 корень из 3, а острый угол составляет

Гроза

14

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства прямоугольных трапеций и окружностей.

Дано: меньшая боковая сторона равна \(8 \sqrt{3}\) и острый угол составляет 60 градусов.

По свойству прямоугольной трапеции, диагонали для которой вписана окружность, мы знаем, что каждая секущая, проходящая через диаметр окружности, делит прямоугольную трапецию на две равные части. Также, угол между боковой стороной и основанием прямоугольной трапеции равен 90 градусов.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти высоту прямоугольной трапеции. Обозначим высоту как \(h\).

Мы можем использовать триугольник, образованный меньшей боковой стороной, высотой и половиной оснований, чтобы найти высоту. Так как у нас есть острый угол, мы можем использовать соотношение сторон треугольника, согласно теореме синусов.

В треугольнике со сторонами \(h\), \(8 \sqrt{3}\) и половиной основания \(a\), синус угла 60 градусов можно выразить как:

\[\sin(60^{\circ}) = \frac{h}{8 \sqrt{3}}\]

Согласно теореме синусов, мы можем записать:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8 \sqrt{3}}\]

Чтобы избавиться от корня, умножим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{3}{2} = \frac{h}{8}\]

Теперь мы можем найти значение высоты:

\[h = \frac{3}{2} \times 8 = 12\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты, мы можем найти площадь прямоугольной трапеции, используя формулу площади:

\[S = \frac{(a + b) \times h}{2}\]

Где \(a\) и \(b\) являются основаниями трапеции.

Зная, что меньшая боковая сторона равна \(8 \sqrt{3}\) и острый угол составляет 60 градусов, мы можем найти длину большей боковой стороны.

Мы знаем, что \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\). Поэтому,

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{\text{большая боковая сторона}}\]

Для избавления от корня, мы можем умножить обе части уравнения на \(\text{большая боковая сторона}\):

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{большая боковая сторона} = 8 \sqrt{3}\]

Делаем обратный шаг, умножая обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[\text{большая боковая сторона} = \frac{8 \sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 16\]

Теперь у нас есть значения оснований трапеции (\(8 \sqrt{3}\) и 16) и высоты (12), поэтому мы можем вычислить площадь трапеции:

\[S = \frac{(8 \sqrt{3} + 16) \times 12}{2}\]

\[S = \frac{24 \sqrt{3} + 48}{2} = 12 \sqrt{3} + 24\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(12 \sqrt{3} + 24\).