Какова площадь равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если высота BH разбивает большее основание

Радужный_Мир

34

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции ABCD, мы можем разделить ее на два треугольника и прямоугольник. Рассмотрим каждую часть по очереди.

Первым шагом, найдем высоту трапеции BH. Мы знаем, что BH разбивает большее основание на отрезки AH=14 и HD=20. Зная это, можем вычислить длину всего основания AD, сложив длины отрезков AH и HD: AD = AH + HD = 14 + 20 = 34.

теперь найдем длину основания BC. В качестве равнобедренной трапеции, основания AD и BC равны. Таким образом, BC = AD = 34.

Далее, мы знаем, что угол BAD равен 45 градусам. Поскольку BAD - это угол между сторонами AB и AD в треугольнике ABD, мы можем использовать эту информацию для вычисления других углов треугольника.

Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем найти величину угла ADB. ADB = 180° - BAD = 180° - 45° = 135°.

После этого, мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину стороны AB.

\[\frac{AB}{\sin(ADB)} = \frac{AD}{\sin(BAD)}\]

Зная значения углов и длину AD, мы можем решить уравнение:

\[\frac{AB}{\sin(135°)} = \frac{34}{\sin(45°)}\]

Решая это уравнение, получим:

\[AB = \frac{34 \cdot \sin(135°)}{\sin(45°)} = \frac{34}{\sqrt{2}}\]

Теперь, мы можем найти площадь треугольника ABD, используя формулу для площади треугольника:

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(BAD)\]

Подставив значения, получим:

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{\sqrt{2}} \cdot 34 \cdot \sin(45°)\]

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{\sqrt{2}} \cdot 34 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 34^2\]

\[S_{ABD} = 578\]

Так как трапеция ABCD состоит из двух треугольников ABD и BCD и прямоугольника ABCH, мы можем найти площадь всей трапеции, сложив площади этих трех частей:

\[S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} + S_{ABCH}\]

Однако, поскольку треугольники ABD и BCD имеют одинаковую площадь в равнобедренной трапеции, мы можем выразить площадь треугольника BCD через площадь треугольника ABD:

\[S_{BCD} = S_{ABD}\]

Таким образом:

\[S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{ABD} + S_{ABCH}\]

\[S_{ABCD} = 2S_{ABD} + S_{ABCH}\]

\[S_{ABCD} = 2 \cdot 578 + S_{ABCH}\]

Осталось найти площадь прямоугольника ABCH. Ширина прямоугольника ABCH равна длине основания BC, которую мы уже вычислили ранее: BC = 34. Высота прямоугольника равна высоте трапеции BH: BH = 14.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCH равна:

\[S_{ABCH} = BC \cdot BH = 34 \cdot 14\]

\[S_{ABCH} = 476\]

Теперь мы можем найти площадь всей трапеции ABCD, сложив все составляющие части:

\[S_{ABCD} = 2 \cdot 578 + 476\]

\[S_{ABCD} = 1156 + 476\]

\[S_{ABCD} = 1632\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции ABCD составляет 1632 квадратных единицы.