Какова площадь равнобедренной трапеции, в которой угол при основании составляет 45 градусов и длины оснований равны

Vinni

56

Для начала, давайте вспомним формулу для вычисления площади трапеции. Площадь \(S\) равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

В нашей задаче, у нас есть равнобедренная трапеция, у которой угол при основании составляет 45 градусов и длины оснований равны 2 см и... Важной характеристикой равнобедренной трапеции является равенство длин боковых сторон. Это означает, что \(a = b\).

Из условия задачи, нам дано, что длины оснований \(a\) и \(b\) равны 2 см и... Мы хотели бы найти площадь этой трапеции.

Поскольку имеем дело с равнобедренной трапецией, то ее высота можно найти с помощью теоремы Пифагора или разложения на два прямоугольных треугольника. Для удобства, давайте разделим трапецию на два таких треугольника, как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{c}
\text{ /\ /\} \\
\text{ / \ / \} \\
\text{ /____\ /____\}
\end{array}
\]

Теперь, заметим, что угол при основании составляет 45 градусов. Это означает, что у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами равными \(a/2\) и \(h\). С помощью теоремы Пифагора, можем найти \(h\):

\[(a/2)^2 + h^2 = a^2\]

\[(a^2/4) + h^2 = a^2\]

\[h^2 = a^2 - a^2/4\]

\[h^2 = 3a^2/4\]

\[h = \sqrt{3a^2/4}\]

Теперь у нас есть значение \(h\), которое мы можем использовать для вычисления площади трапеции, используя формулу \(S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\). Подставляем значения \(a = b = 2\) и \(h = \sqrt{3 \cdot 2^2/4}\) в формулу:

\[S = \frac{(2 + 2) \cdot \sqrt{3 \cdot 2^2/4}}{2}\]

\[S = \frac{4 \cdot \sqrt{3 \cdot 4/4}}{2}\]

\[S = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2}\]

\[S = 2 \cdot \sqrt{3}\]