Какова площадь S (в км²) Приморского городского района, находящегося внутри кольцевой линии длиной 60 км? В ответе
Какова площадь S (в км²) Приморского городского района, находящегося внутри кольцевой линии длиной 60 км? В ответе указывается значение выражения S.
Магический_Трюк_4763 53
Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для площади кольцевой линии. Формула для площади S кольцевой линии радиусами R1 и R2, где R1 - внутренний радиус, а R2 - внешний радиус, задается следующим образом:\[S = \pi \cdot (R2^2 - R1^2)\]
По нашей задаче, длина кольцевой линии составляет 60 км. Так как кольцо имеет одновременно внешний и внутренний радиус, мы можем найти сумму длин двух радиусов:
\[R1 + R2 = 60\]
Также, можно представить выражение для площади кольца в виде:
\[S = \pi \cdot R2^2 - \pi \cdot R1^2\]
Теперь мы можем решить два уравнения с двумя неизвестными. Можно решить систему уравнений для нахождения значений R1 и R2:
\[R1 + R2 = 60\]
\[R2 - R1 = S/\pi\]
Сложим эти уравнения, чтобы избавиться от R2:
\[2R2 = 60 + S/\pi\]
\[R2 = (60 + S/\pi)/2\]
Теперь найдем R1, вычтя R2 из первого уравнения:
\[R1 = 60 - R2\]
Подставим значения радиусов в исходное выражение для площади S:
\[S = \pi \cdot ((60 + S/\pi)/2)^2 - \pi \cdot (60 - (60 + S/\pi)/2)^2\]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно S. Раскроем скобки:
\[S = \pi \cdot (3600 + 120S/\pi + S^2/\pi^2)/4 - \pi \cdot (3600 - 120S/\pi + S^2/\pi^2)/4\]
Упростим и вынесем общий множитель \(\pi/4\):
\[S = \pi/4 \cdot S^2/\pi^2 + \pi/4 \cdot 240S/\pi\]
\[S = S^2/(4\pi) + 60S/\pi\]
Перенесем все члены в одну сторону:
\[0 = S^2/(4\pi) + 60S/\pi - S\]
\[0 = S^2/(4\pi) + S(60/\pi - 1)\]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
Дискриминант D для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен:
\[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае a = 1/4*pi, b = 60/pi - 1, c = 0. Подставим значения:
\[D = (60/\pi - 1)^2 - 4 \cdot (1/4\pi) \cdot 0\]
\[D = (3600/\pi^2 - 120/\pi + 1) - 0\]
\[D = 3600/\pi^2 - 120/\pi + 1\]
Так как D = 0, квадратное уравнение имеет один корень. Найдем этот корень:
\[S = \frac{-b}{2a}\]
\[S = \frac{-60/\pi + 1}{2(1/4\pi)}\]
\[S = \frac{-60/\pi + 1}{1/2\pi}\]
\[S = 2(-60/\pi + 1)\]
\[S = -120/\pi + 2\]
Таким образом, площадь Приморского городского района равна \(-120/\pi + 2\) км².