Какова площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через центр основания и апофему, если высота правильной

Zvezdopad_Shaman

24

Дана правильная шестиугольная пирамида, у которой высота равна 15, а ребро основания равно \(8\sqrt{3}\). Задача состоит в определении площади поперечного сечения пирамиды, которое проходит через центр основания и апофему.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать знания о свойствах шестиугольников и пирамид. Перед тем, как начать решение задачи, давайте вспомним определение апофемы.

Апофема - это отрезок, проведенный из центра основания до середины одной из сторон основания. В случае правильной шестиугольной пирамиды, такой отрезок является радиусом вписанной окружности основания. Так как шестиугольник правильный, то радиус вписанной окружности равен половине длины стороны основания.

У нас имеется поперечное сечение пирамиды, проходящее через центр основания и апофему. Заметим, что сечение будет иметь форму правильного шестиугольника, так как линии, проходящие через центр и вершины, делят основание на равные части, а апофема перпендикулярна основанию.

Для нахождения площади поперечного сечения пирамиды, мы можем разбить его на 6 равных равносторонних треугольников и найти площадь одного из них. Затем умножим полученную площадь на 6, чтобы учесть все треугольники.

Так как шестиугольник равносторонний, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

\[Площадь = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае, сторона треугольника равна длине стороны основания пирамиды, которая равна \(8\sqrt{3}\).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[Площадь = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4}\]
\[Площадь = \frac{192\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{192 \cdot 3}{4}\]
\[Площадь = 144\]

Таким образом, площадь поперечного сечения пирамиды, проходящего через центр основания и апофему, равна 144.