Как можно представить вектор n {1; 9} в виде линейной комбинации векторов а {-1; 2

Роза

1

Чтобы представить вектор \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix}\) в виде линейной комбинации векторов \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b}\), нам нужно найти коэффициенты \(x\) и \(y\), такие что \(\mathbf{n} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}\).

Для начала, давайте представим вектор \(\mathbf{a}\) в виде линейной комбинации его базисных векторов \(\mathbf{e_1}\) и \(\mathbf{e_2}\), где \(\mathbf{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). То есть \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{e_1} + a_2\mathbf{e_2}\), где \(a_1 = -1\) и \(a_2 = 2\).

Теперь можем записать вектор \(\mathbf{n}\) как линейную комбинацию векторов \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{e_1}\) и \(\mathbf{e_2}\), используя базисные векторы:
\[
\mathbf{n} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b} = x(a_1\mathbf{e_1} + a_2\mathbf{e_2}) + y(b_1\mathbf{e_1} + b_2\mathbf{e_2}),
\]
где \(b_1\) и \(b_2\) - коэффициенты, представляющие вектор \(\mathbf{b}\).

Раскроем скобки:
\[
\mathbf{n} = x a_1\mathbf{e_1} + x a_2\mathbf{e_2} + y b_1\mathbf{e_1} + y b_2\mathbf{e_2}.
\]

Объединим одинаковые базисные векторы:
\[
\mathbf{n} = (x a_1 + y b_1)\mathbf{e_1} + (x a_2 + y b_2)\mathbf{e_2}.
\]

Теперь у нас есть система уравнений для определения значений \(x\) и \(y\):
\[
\begin{cases}
x a_1 + y b_1 = 1, \\
x a_2 + y b_2 = 9.
\end{cases}
\]

Подставив значения \(a_1 = -1\), \(a_2 = 2\), а также координаты вектора \(\mathbf{b}\), получим:
\[
\begin{cases}
-x + y b_1 = 1, \\
2x + y b_2 = 9.
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом Крамера, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Решение системы уравнений приводит к значениям \(x = 3\) и \(y = 7\).

Таким образом, вектор \(\mathbf{n}\) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) следующим образом:
\[
\mathbf{n} = 3\mathbf{a} + 7\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 20 \end{pmatrix}.
\]