Какова площадь сечения, полученного плоскостью, которая проходит через вершину конуса и пересекает его основание, если

Михайлович

3

Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи:

1. Начнем с того, что представим сечение, полученное плоскостью через вершину и основание конуса. Поскольку плоскость сечения образует угол 60° с высотой конуса, мы можем отметить этот угол на изображении.

2. Затем нарисуем треугольник, образованный плоскостью сечения, высотой конуса и радиусом основания. Поскольку треугольник прямоугольный, вспомним свойства треугольника и соотношение между его сторонами.

3. Радиус основания конуса равен 10, а высота конуса равна 5. Рассмотрим треугольник, образованный этими величинами. Отметим радиус основания как сторону, примыкающую к прямому углу, высоту конуса как противолежащую сторону и гипотенузу (линия, образованная плоскостью сечения) как гипотенузу треугольника.

4. Для дальнейшего решения нам потребуется теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с длиной катетов \(a\) и \(b\) и длиной гипотенузы \(c\) верно следующее соотношение: \(c^2 = a^2 + b^2\).

5. Применим теорему Пифагора к нашему треугольнику. Поскольку в треугольнике гипотенуза равна радиусу основания и составляет угол 60° с высотой, получим следующее уравнение: \(c^2 = 10^2 + 5^2\).

6. Вычислим значения в уравнении: \(c^2 = 100 + 25\), что дает \(c^2 = 125\).

7. Чтобы найти значение \(c\) (гипотенузы), извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: \(c = \sqrt{125}\).

8. Упростим корень из 125: \(c = \sqrt{5 \cdot 5 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\).

Итак, мы получили значение гипотенузы треугольника, образованного плоскостью сечения, равное \(5\sqrt{5}\).

9. Наконец, определим площадь сечения. Площадь сечения будет равна площади треугольника, образованного плоскостью сечения и радиусом основания конуса.

10. Формула для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\).

11. Подставим значения основания и высоты в формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\).

Итак, мы получили, что площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через вершину и пересекающей основание конуса, равна \(25\sqrt{5}\).