Какова площадь сечения, полученного плоскостью, которая проходит через вершину конуса и пересекает его основание, если

Михайлович

3

Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи:

1. Начнем с того, что представим сечение, полученное плоскостью через вершину и основание конуса. Поскольку плоскость сечения образует угол 60° с высотой конуса, мы можем отметить этот угол на изображении.

2. Затем нарисуем треугольник, образованный плоскостью сечения, высотой конуса и радиусом основания. Поскольку треугольник прямоугольный, вспомним свойства треугольника и соотношение между его сторонами.

3. Радиус основания конуса равен 10, а высота конуса равна 5. Рассмотрим треугольник, образованный этими величинами. Отметим радиус основания как сторону, примыкающую к прямому углу, высоту конуса как противолежащую сторону и гипотенузу (линия, образованная плоскостью сечения) как гипотенузу треугольника.

4. Для дальнейшего решения нам потребуется теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с длиной катетов $a$ и $b$ и длиной гипотенузы $c$ верно следующее соотношение: $c^2=a^2+b^2$.

5. Применим теорему Пифагора к нашему треугольнику. Поскольку в треугольнике гипотенуза равна радиусу основания и составляет угол 60° с высотой, получим следующее уравнение: $c^2={10}^2+5^2$.

6. Вычислим значения в уравнении: $c^2=100+25$, что дает $c^2=125$.

7. Чтобы найти значение $c$ (гипотенузы), извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: $c=\sqrt{125}$.

8. Упростим корень из 125: $c=\sqrt{5\cdot 5\cdot 5}=5\sqrt{5}$.

Итак, мы получили значение гипотенузы треугольника, образованного плоскостью сечения, равное $5\sqrt{5}$.

9. Наконец, определим площадь сечения. Площадь сечения будет равна площади треугольника, образованного плоскостью сечения и радиусом основания конуса.

10. Формула для площади треугольника: $S=\frac{1}{2}\cdot \text{{основание}}\cdot \text{{высота}}$.

11. Подставим значения основания и высоты в формулу: $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{5}=25\sqrt{5}$.

Итак, мы получили, что площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через вершину и пересекающей основание конуса, равна $25\sqrt{5}$.