В прямоугольном треугольнике lpk с прямым углом p известно, что lp=48 и lk=52. Найдите: 1) Значение PK 2) Радиус

Давид

54

1) Значение PK:

Мы можем найти значение PK, используя теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы треугольника lpk. По теореме Пифагора:

\( PK^2 = LP^2 + LK^2 \)

Здесь LP = 48 и LK = 52. Подставляя значения, получаем:

\( PK^2 = 48^2 + 52^2 \)

Рассчитываем:

\( PK^2 = 2304 + 2704 \)

\( PK^2 = 5008 \)

Отсюда, чтобы найти значение PK, извлекаем квадратный корень:

\( PK = \sqrt{5008} \)

\( PK \approx 70.8 \) (округляем до одного знака после запятой).

Таким образом, значение PK равно примерно 70.8.

2) Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности любого треугольника равен половине длины гипотенузы. В данном случае, гипотенуза треугольника lpk имеет длину 52, поэтому радиус описанной окружности равен половине этой длины:

\( \text{Радиус описанной окружности} = \frac{52}{2} \)

\( \text{Радиус описанной окружности} = 26 \)

Таким образом, радиус описанной окружности равен 26.

3) Площадь треугольника:

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и синус угла между этими сторонами. В данном случае, мы знаем длины сторон LP и LK и хотим найти площадь треугольника lpk.

Мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника:

\( \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot LP \cdot LK \cdot \sin p \)

где p - острый угол треугольника.

Для нахождения синуса угла p, мы можем использовать соотношение:

\( \sin p = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \)

В данном случае, LP = 48 и LK = 52. Треугольник является прямоугольным, поэтому угол p равен 90 градусам. Мы можем использовать эти значения для расчета площади треугольника:

\( \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 52 \cdot \sin 90^\circ \)

\( \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 52 \cdot 1 \)

\( \text{Площадь треугольника} = 1248 \)

Таким образом, площадь треугольника равна 1248.

4) Синус меньшего острого угла:

Так как у нас является прямоугольный треугольник, то у него прямой угол в 90 градусов, а острые углы суммируются до 90 градусов. Таким образом, меньший острый угол - это угол l. Чтобы найти синус угла l, мы можем использовать тригонометрическое соотношение:

\( \sin l = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \)

В данном случае, у нас уже известны значения противолежащего катета и гипотенузы:

\( \sin l = \frac{LP}{LK} \)

Подставляем значения:

\( \sin l = \frac{48}{52} \)

\( \sin l \approx 0.923 \) (округляем до трех знаков после запятой).

Таким образом, синус меньшего острого угла l приближенно равен 0.923.

5) Косинус большего угла:

Сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. В данном случае, угол l - это меньший острый угол, поэтому больший острый угол - это угол k. Чтобы найти косинус угла k, мы можем использовать тригонометрическое соотношение:

\( \cos k = \frac{\text{Прилежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \)

В данном случае, прилежащим катетом является LP, а гипотенузой является LK:

\( \cos k = \frac{LP}{LK} \)

Подставляем значения:

\( \cos k = \frac{48}{52} \)

\( \cos k \approx 0.923 \) (округляем до трех знаков после запятой).

Таким образом, косинус большего угла k приближенно равен 0.923.

6) Высоту, опущенную на гипотенузу:

Высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на две части, пропорциональные катетам треугольника. То есть, отношение длины сегмента гипотенузы, на которой опущена высота, к гипотенузе, должно быть равно отношению длин катетов треугольника.

В данном случае, lpk - прямоугольный треугольник, и высота опущена на гипотенузу lk, разделяя ее на две части - mk и nk. Если обозначить hk как длину высоты, то получим пропорцию:

\( \frac{mk}{HK} = \frac{lk}{kp} \)

Для решения данной пропорции, мы должны заменить значения всех переменных:

\( \frac{mk}{HK} = \frac{52}{48} \)

\( mk = \frac{52}{48} \cdot HK \)

\( mk = \frac{13}{12} \cdot HK \)

Теперь мы можем заменить mk в пропорции:

\( \frac{ \frac{13}{12} \cdot HK }{HK} = \frac{lk}{kp} \)

\( \frac{13}{12} = \frac{lk}{kp} \)

Остается найти отношение длин катетов треугольника:

\( \frac{lk}{kp} = \frac{52}{48} \)

\( \frac{lk}{kp} = \frac{13}{12} \)

Таким образом, высота опущенная на гипотенузу равна отношению длины катета lk к длине катета kp, то есть, это отношение равно \(\frac{13}{12}\).

7) Медиану kn:

Медиана треугольника - это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, мы хотим найти медиану kn.

Мы можем использовать формулу для нахождения медианы треугольника:

\( \text{Медиана} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2 - c^2} \)

где a, b, c - длины сторон треугольника.

В данном случае, nk является медианой и противоположная сторона - это сторона lp. Длины сторон lp и lk уже известны, поэтому мы можем использовать эти значения для расчета медианы:

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot lp^2 + 2 \cdot lk^2 - kp^2} \)

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 48^2 + 2 \cdot 52^2 - PK^2} \)

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 48^2 + 2 \cdot 52^2 - 70.8^2} \)

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4608 + 5408 - 4992.64} \)

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5023.36} \)

\( \text{Медиана kn} = \frac{1}{2} \cdot 70.87 \)

\( \text{Медиана kn} \approx 35.43 \)

Таким образом, медиана kn равна примерно 35.43.

8) Медиану lq:

Аналогично, чтобы найти медиану lq, мы можем использовать формулу:

\( \text{Медиана} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2 - c^2} \)

где a, b, c - длины сторон треугольника.

В данном случае, lq является медианой и противоположная сторона - это сторона kp. Длины сторон lp и lk уже известны, поэтому мы можем использовать эти значения для расчета медианы:

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot lp^2 + 2 \cdot lk^2 - PK^2} \)

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 48^2 + 2 \cdot 52^2 - PK^2} \)

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 48^2 + 2 \cdot 52^2 - 70.8^2} \)

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4608 + 5408 - 4992.64} \)

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5023.36} \)

\( \text{Медиана lq} = \frac{1}{2} \cdot 70.87 \)

\( \text{Медиана lq} \approx 35.43 \)

Таким образом, медиана lq равна примерно 35.43.

9) Тангенс угла, внешнего к углу k:

Тангенс угла, внешнего к углу k, можно найти, используя соотношение:

\( \tan \text{ внешнего угла } = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Прилежащий катет}} \)

В данном случае, у нас треугольник lpk с углом k. Противолежащим катетом является LP, а прилежащим катетом - LK:

\( \tan \text{ угла, внешнего к углу k } = \frac{LP}{LK} \)

Подставляем значения:

\( \tan \text{ угла, внешнего к углу k } = \frac{48}{52} \)

\( \tan \text{ угла, внешнего к углу k } \approx 0.923 \) (округляем до трех знаков после запятой).

Таким образом, тангенс угла, внешнего к углу k, приближенно равен 0.923.

10) Косинус угла, внешнего к углу l:

Косинус угла, внешнего к углу l, можно найти, используя соотношение:

\( \cos \text{ внешнего угла } = -\cos \text{ внутреннего угла } \)

В данном случае, у нас треугольник lpk с углом l. Для нахождения косинуса угла, внешнего к углу l, мы можем использовать косинус угла l:

\( \cos \text{ угла, внешнего к углу l } = -\cos l \)

Мы ранее нашли значение косинуса угла l, которое приближенно равно 0.923:

\( \cos \text{ угла, внешнего к углу l } = -0.923 \)

Таким образом, косинус угла, внешнего к углу l, прибли