Каковы значения диагоналей параллелограмма, если смежные стороны равны 7см и 8см, а угол между ними равен 60°? Какова

Murlyka

24

Чтобы найти значения диагоналей параллелограмма, мы можем использовать косинусный закон. Этот закон относится к треугольнику, но мы можем разделить параллелограмм на два треугольника, соединив диагональ, и затем применить косинусный закон к каждому из них. Давайте начнем с первого треугольника, образованного смежными сторонами и диагональю.

Мы знаем, что длины смежных сторон равны 7 см и 8 см, а угол между ними составляет 60°. Обозначим диагональ как \(d_1\).

Применим косинусный закон в треугольнике.

\[\cos(\theta) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}\]

Где \(\theta\) - это угол между сторонами \(a\) и \(b\), \(c\) - третья сторона треугольника.

В нашем случае, \(a = 7\), \(b = 8\) и \(c = d_1\).

Подставим известные значения:

\[\cos(60°) = \frac{{7^2 + 8^2 - d_1^2}}{{2 \cdot 7 \cdot 8}}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{{49 + 64 - d_1^2}}{{112}}\]

Упростим выражение:

\[1 = \frac{{113 - d_1^2}}{{112}}\]

\[112 = 113 - d_1^2\]

\[d_1^2 = 113 - 112\]

\[d_1^2 = 1\]

\[d_1 = \sqrt{1}\]

\[d_1 = 1\]

Таким образом, значение первой диагонали, \(d_1\), равно 1 см.

Теперь найдем значение второй диагонали, \(d_2\), которая также равна 1 см, так как параллелограммы имеют парные диагонали равной длины.

Чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать формулу:

\[S = a \cdot h\]

Где \(a\) - длина одной из сторон параллелограмма, \(h\) - высота, проведенная к этой стороне.

В нашем случае, сторона \(a = 7\) см, а высоту, проведенную к этой стороне, мы можем найти с использованием синусного закона в треугольнике.

\[\sin(\theta) = \frac{h}{{b}}\]

Где \(\theta\) - это угол между сторонами \(a\) и \(h\), \(b\) - третья сторона треугольника.

Подставим известные значения:

\[\sin(60°) = \frac{h}{{8}}\]

\[\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{h}{{8}}\]

\[h = \frac{{8 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

\[h = 4\sqrt{3}\]

Теперь можем найти площадь параллелограмма:

\[S = a \cdot h = 7 \cdot 4\sqrt{3} = 28\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \(28\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.